《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

8. (成华区一诊)如图,直线$y= \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}与反比例函数y= \frac{k}{x}(k\ne0)的图象交于点A(a,2)$,$M是第三象限内反比例函数y= \frac{k}{x}(k\ne0)$图象上一动点,连接$AM交x轴于点N$。
(1)求点$A$的坐标和反比例函数的解析式。
(2)若点$N把线段AM分成长度比为1:2$的两部分,求点$M$的坐标。
(3)试探究在点$M$移动过程中,点$M的横坐标和点N$的横坐标之间有何数量关系？写出你的结论并说明理由。

答案：
解:
(1)$\because$直线$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}$与反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$的图象交于点$A(a,2)$，
$\therefore \begin{cases}\frac{1}{2}a + \frac{3}{4} = 2,\\2 = \frac{k}{a},\end{cases}$解得$\begin{cases}a = \frac{5}{2},\\k = 5,\end{cases}$$\therefore A(\frac{5}{2},2)$，$y = \frac{5}{x}$。
(2)设点$M(\frac{5}{6},b)$。如图，分别作$MC // x$轴，$AC // y$轴，$MC$与$AC$相交于点$C$，$AC$交$x$轴于点$D$，$MC$交$y$轴于点$E$，则$AD = 2$，$ND // MC$，$\therefore \frac{AN}{NM} = \frac{AD}{DC}$。

①当$\frac{AN}{NM} = \frac{AD}{DC} = \frac{2}{DC} = \frac{1}{2}$时，$DC = 4$，$\therefore b = -4$，$\therefore M(-\frac{5}{4},-4)$；
②当$\frac{AN}{NM} = \frac{AD}{DC} = \frac{2}{DC} = 2$时，$DC = 1$，$\therefore b = -1$，$\therefore M(-5,-1)$。
综上所述，点$M$的坐标为$(-\frac{5}{4},-4)$或$(-5,-1)$。
(3)解法一:设点$M$的坐标为$(m,\frac{5}{m})$，点$N$的横坐标为$n$，则$ND = \frac{5}{2} - n$，$MC = \frac{5}{2} - m$，$AC = 2 - \frac{5}{m}$。
$\because ND // MC$，$\therefore \triangle AND \sim \triangle AMC$，$\therefore \frac{ND}{MC} = \frac{AD}{AC}$，
$\therefore \frac{\frac{5}{2} - n}{\frac{5}{2} - m} = \frac{2}{2 - \frac{5}{m}}$，化简得$n - m = \frac{5}{2}$，即点$M$的横坐标和点$N$的横坐标之间的数量关系为$n - m = \frac{5}{2}$。
解法二:设直线$AM$的解析式为$y = k'x + b$。
$\because AM$过点$A(\frac{5}{2},2)$，则$b = -\frac{5}{2}k' + 2$，
$\therefore AM:y = k'x - \frac{5}{2}k' + 2$，$\therefore x_N = \frac{\frac{5}{2}k' - 2}{k'} = \frac{5}{2} - \frac{2}{k'}$。
令$k'x - \frac{5}{2}k' + 2 = \frac{5}{x}$，得$k'x^2 + (2 - \frac{5}{2}k')x - 5 = 0$。
$\because x_A \cdot x_M = -\frac{5}{k'}$，$x_A = \frac{5}{2}$，$\therefore x_M = -\frac{2}{k'}$，
$\therefore x_N = \frac{5}{2} + x_M$，$\therefore$点$M$的横坐标与点$N$的横坐标之间的数量关系为$x_N - x_M = \frac{5}{2}$。

1. (新都区期末)若 $ kb \lt 0 $,则一次函数 $ y = kx + b $ 与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 在同一坐标系内的图象大致是(C)

答案： C