《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

6. (成外)如图,直线$y = k_1x + 5(k_1$为常数,且$k_1\ne0)与双曲线y= \frac{k_2}{x}(k_2$为常数,且$k_2\ne0)交于A( - 2,4)$,$B$两点。
(1)求直线$AB$的解析式；$y = \frac{1}{2}x + 5$
(2)求点$B$的坐标；$(-8,1)$
(3)若直线$y = k_1x + m与双曲线y= \frac{k_2}{x}$有且只有一个公共点,求$m$的值。$\pm 4$

答案： 解:
(1)$\because$直线$y = k_1x + 5$过点$A(-2,4)$，
$\therefore -2k_1 + 5 = 4$，$\therefore k_1 = \frac{1}{2}$，
$\therefore$直线$AB$的解析式为$y = \frac{1}{2}x + 5$。
(2)$\because$点$A(-2,4)$在双曲线$y = \frac{k_2}{x}$上，
$\therefore 4 = \frac{k_2}{-2}$，$\therefore k_2 = -2 \times 4 = -8$，
$\therefore$双曲线的解析式为$y = -\frac{8}{x}$。
由$\begin{cases}y = \frac{1}{2}x + 5,\\y = -\frac{8}{x},\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = -2,\\y = 4\end{cases}$或$\begin{cases}x = -8,\\y = 1,\end{cases}$
$\therefore$点$B$的坐标为$(-8,1)$。
(3)消去方程组$\begin{cases}y = \frac{1}{2}x + m,\\y = -\frac{8}{x}\end{cases}$中的$y$，得$x^2 + 2mx + 16 = 0$。$\because$直线$y = k_1x + m$与双曲线$y = \frac{k_2}{x}$有且只有一个公共点，
$\therefore$方程$x^2 + 2mx + 16 = 0$有且只有一个实数解，
$\therefore \Delta = (2m)^2 - 4 \times 1 \times 16 = 0$，$\therefore m = \pm 4$。