《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

1. (七中万达)已知：如图,在矩形 $ABCD$ 中,$BE$ 平分 $\angle ABC$,$CE$ 平分 $\angle DCB$,$BF// CE$,$CF// BE$。求证：四边形 $BECF$ 是正方形。
证明:$\because BF// CE,CF// BE,$$\therefore$ 四边形 $BECF$ 是平行四边形.又 $\because$ 在矩形 $ABCD$ 中,$BE$ 平分 $\angle ABC$,$CE$ 平分 $\angle DCB$,$\therefore \angle EBC=\angle ECB=45^{\circ }$,$\therefore \angle BEC=90^{\circ },BE=CE$,$\therefore$ 四边形 $BECF$ 是正方形.

答案： 证明:$\because BF// CE,CF// BE,$
$\therefore$ 四边形 $BECF$ 是平行四边形.
又 $\because$ 在矩形 $ABCD$ 中,$BE$ 平分 $\angle ABC$,$CE$ 平分 $\angle DCB$,$\therefore \angle EBC=\angle ECB=45^{\circ }$,
$\therefore \angle BEC=90^{\circ },BE=CE$,
$\therefore$ 四边形 $BECF$ 是正方形.

2. (成外)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$O$ 是边 $AC$ 上的一个动点,过点 $O$ 作直线 $MN// BC$,$MN$ 交 $\angle ACB$ 的平分线于点 $E$,交 $\triangle ABC$ 的外角 $\angle ACD$ 的平分线于点 $F$。
(1)探究线段 $OE$ 与 $OF$ 的数量关系,并说明理由。
答：$OE=OF$。理由如下:
$\because CE$ 是 $\angle ACB$ 的平分线,$\therefore \angle ACE=\angle BCE$。
又 $\because MN// BC,\therefore \angle NEC=\angle ECB$,
$\therefore \angle NEC=\angle ACE,\therefore OE=OC$。
$\because CF$ 是 $\angle ACD$ 的平分线,$\therefore \angle OCF=\angle FCD$。
又 $\because MN// BC,\therefore \angle OFC=\angle FCD$,
$\therefore \angle OFC=\angle OCF,\therefore OF=OC,\therefore OE=OF$。
(2)当点 $O$ 运动到何处,且 $\triangle ABC$ 满足什么条件时,四边形 $AECF$ 是正方形？请说明理由。
答：当点 $O$ 运动到$AC$ 的中点,且 $\triangle ABC$ 满足以 $\angle ACB$ 为直角的直角三角形条件时,四边形 $AECF$ 是正方形。理由如下:
当点 $O$ 运动到 $AC$ 的中点时,$AO=CO$。
$\because EO=FO,\therefore$ 四边形 $AECF$ 是平行四边形。
$\because FO=CO,\therefore AO=CO=EO=FO,\therefore AO+CO=EO+FO$,
$\therefore AC=EF,\therefore$ 四边形 $AECF$ 是矩形。
$\because MN// BC,\angle ACB=90^{\circ },\therefore \angle AOF=$$\angle COE=\angle COF=\angle AOE=90^{\circ }$,
$\therefore AC\perp EF,\therefore$ 四边形 $AECF$ 是正方形,
$\therefore$ 当点 $O$ 运动到 $AC$ 的中点,且 $\triangle ABC$ 是以 $\angle ACB$ 为直角的直角三角形时,四边形 $AECF$ 是正方形。

答案： 解:
(1)$OE=OF$. 理由如下:
$\because CE$ 是 $\angle ACB$ 的平分线,$\therefore \angle ACE=\angle BCE$.
又 $\because MN// BC,\therefore \angle NEC=\angle ECB$,
$\therefore \angle NEC=\angle ACE,\therefore OE=OC$.
$\because CF$ 是 $\angle ACD$ 的平分线,$\therefore \angle OCF=\angle FCD$.
又 $\because MN// BC,\therefore \angle OFC=\angle FCD$,
$\therefore \angle OFC=\angle OCF,\therefore OF=OC,\therefore OE=OF$.
(2)当点 $O$ 运动到 $AC$ 的中点,且 $\triangle ABC$ 是以 $\angle ACB$ 为直角的直角三角形时,四边形 $AECF$ 是正方形. 理由如下:
当点 $O$ 运动到 $AC$ 的中点时,$AO=CO$.
$\because EO=FO,\therefore$ 四边形 $AECF$ 是平行四边形.
$\because FO=CO,\therefore AO=CO=EO=FO,\therefore AO+CO=EO+FO$,
$\therefore AC=EF,\therefore$ 四边形 $AECF$ 是矩形.
$\because MN// BC,\angle ACB=90^{\circ },\therefore \angle AOF=$
$\angle COE=\angle COF=\angle AOE=90^{\circ }$,
$\therefore AC\perp EF,\therefore$ 四边形 $AECF$ 是正方形,
$\therefore$ 当点 $O$ 运动到 $AC$ 的中点,且 $\triangle ABC$ 是以 $\angle ACB$ 为直角的直角三角形时,四边形 $AECF$ 是正方形.