《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

8. (成华区一诊)在$△ABC$中,$∠ACB$为锐角,$AC= 4,AB= 6$,D 为边 AB 上一点,且$∠ACD≤∠ABC$.
(1)如图 1,当$∠ACD= ∠ABC$时,求 BD 的长.
(2)当$∠ACD＜∠ABC$时,在 CD 上取点 E,使$∠ABE= ∠ACD$.
①如图 2,若 E 恰好为 CD 的中点,求 BD 的长;
②在①的条件下,若$∠ABC= 30^{\circ }$,如图 3,求$△BCD$的面积.

答案：
解:
(1)
∵∠ACD = ∠ABC，∠A = ∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AC}$ = $\frac{AC}{AB}$，
即$\frac{AD}{4}$ = $\frac{4}{6}$，解得AD = $\frac{8}{3}$，
∴BD = AB - AD = 6 - $\frac{8}{3}$ = $\frac{10}{3}$.
(2)①过点C作CF//EB交AB的延长线于点F，如图1所示，则∠F = ∠ABE.
∵DE = CE，
∴$\frac{BD}{BF}$ = $\frac{DE}{CE}$ = 1，
∴BD = BF.
∵∠ACD = ∠ABE，
∴∠ACD = ∠F.
又
∵∠A = ∠A，
∴△AFC∽△ACD，
∴$\frac{AC}{AD}$ = $\frac{AF}{AC}$，
∴AC² = AD·AF.
又
∵AD = AB - BD = 6 - BD，AF = AB + BF = AB + BD = 6 + BD，
∴4² = (6 - BD)(6 + BD)，解得BD = 2$\sqrt{5}$.

②过点D作DH⊥BC于点H，过点C作CN⊥AB交BA的延长线于点N，如图2所示.
∵∠ABC = 30°，
∴CN = $\frac{1}{2}$BC，
DH = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$ = $\sqrt{5}$，
∴BH = $\sqrt{BD^{2} - DH^{2}}$ = $\sqrt{(2\sqrt{5})^{2} - (\sqrt{5})^{2}}$ = $\sqrt{15}$.
∵∠BHD = ∠BNC = 90°，∠DBH = ∠CBN，
∴△BHD∽△BNC，
∴$\frac{DH}{CN}$ = $\frac{BH}{BN}$，即$\frac{\sqrt{5}}{CN}$ = $\frac{\sqrt{15}}{6 + \sqrt{16 - CN^{2}}}$，整理，得
CN² - 3$\sqrt{3}$CN + 5 = 0，
解得CN = $\frac{3\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2}$或CN = $\frac{3\sqrt{3} - \sqrt{7}}{2}$(不符合题意，舍去)，
∴BC = 2CN = 3$\sqrt{3}$ + $\sqrt{7}$，
∴S△BCD = $\frac{1}{2}$BC·DH = $\frac{1}{2}$×(3$\sqrt{3}$ + $\sqrt{7}$)×$\sqrt{5}$ = $\frac{3\sqrt{15} + \sqrt{35}}{2}$.