《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

3. (成华区一诊)若一个等腰三角形的两条边长分别是方程 $ x^{2}-7x + 10 = 0 $ 的两根, 则该等腰三角形的周长是 (A)
A. 12
B. 9
C. 13
D. 12 或 9

答案： A 【解析】解方程 $x^{2}-7x + 10 = 0$，得 $x_{1}=2$，$x_{2}=5$。①当该等腰三角形的腰长为 $2$ 时，$\because 2 + 2 ＜ 5$，$\therefore$ 此时不能构成三角形，$\therefore$ 此种情况不存在；②当该等腰三角形的腰长为 $5$ 时，此时可以构成三角形，$\therefore$ 该等腰三角形的周长是 $2 + 5 + 5 = 12$。

4. (成华区期末)一元二次方程 $ x^{2}+x - 1 = 0 $ 的解是$x_{1}=\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.

答案： $x_{1}=\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$

5. (龙泉驿区一诊)解方程:
(1) $ x^{2}-2 = 7 $;解：$\because x^{2}-2 = 7$，$\therefore x^{2}=9$，$\therefore x = \pm 3$，$\therefore x_{1}=3$，$x_{2}=-3$。
(2) $ x^{2}-8x - 20 = 0 $。解：$\because x^{2}-8x - 20 = 0$，$\therefore (x - 10)(x + 2)=0$，$\therefore x - 10 = 0$ 或 $x + 2 = 0$，$\therefore x_{1}=10$，$x_{2}=-2$。

答案：
(1)解：$\because x^{2}-2 = 7$，$\therefore x^{2}=9$，$\therefore x = \pm 3$，$\therefore x_{1}=3$，$x_{2}=-3$。
(2)解：$\because x^{2}-8x - 20 = 0$，$\therefore (x - 10)(x + 2)=0$，$\therefore x - 10 = 0$ 或 $x + 2 = 0$，$\therefore x_{1}=10$，$x_{2}=-2$。

6. (成华区一诊)解方程:
(1) $ 2x^{2}-3x + \frac{3}{2} = 0 $;
解：$2x^{2}-3x + \frac{3}{2}=0$，$\because a = 2$，$b = -3$，$c=\frac{3}{2}$，$\therefore \Delta = b^{2}-4ac = (-3)^{2}-4× 2×\frac{3}{2}=9 - 12 = -3 ＜ 0$，$\therefore$ 原方程无实数根。
(2) $ 2x + 6 = (x + 3)^{2} $.
解：$2x + 6=(x + 3)^{2}$，$(x + 3)^{2}-2(x + 3)=0$，$(x + 3)(x + 1)=0$，$\therefore x + 3 = 0$ 或 $x + 1 = 0$，$\therefore x_{1}=$$-3$，$x_{2}=$$-1$。

答案：
(1)解：$2x^{2}-3x + \frac{3}{2}=0$，$\because a = 2$，$b = -3$，$c=\frac{3}{2}$，$\therefore \Delta = b^{2}-4ac = (-3)^{2}-4\times 2\times\frac{3}{2}=9 - 12 = -3 ＜ 0$，$\therefore$ 原方程无实数根。
(2)解：$2x + 6=(x + 3)^{2}$，$(x + 3)^{2}-2(x + 3)=0$，$(x + 3)(x + 1)=0$，$\therefore x + 3 = 0$ 或 $x + 1 = 0$，$\therefore x_{1}=-3$，$x_{2}=-1$。

7. (嘉祥)解方程:
(1) $ 2x^{2}+7x + 4 = 0 $(用配方法);
(2) $ 5x(x - 3) = 3 - x $.

答案：
(1)解：$2x^{2}+7x + 4 = 0$，$2x^{2}+7x=-4$，$x^{2}+\frac{7}{2}x=-2$，$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-2+\frac{49}{16}$，$(x + \frac{7}{4})^{2}=\frac{17}{16}$，$x + \frac{7}{4}=\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$，解得 $x_{1}=-\frac{7}{4}+\frac{\sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=-\frac{7}{4}-\frac{\sqrt{17}}{4}$。
(2)解：$5x(x - 3)=3 - x$，$5x(x - 3)+(x - 3)=0$，$(5x + 1)(x - 3)=0$，$5x + 1 = 0$ 或 $x - 3 = 0$，解得 $x_{1}=-\frac{1}{5}$，$x_{2}=3$。

8. (成外)解方程:
(1) $ 9(x - 1)^{2}-4 = 0 $;解：$9(x - 1)^{2}-4 = 0$，$9(x - 1)^{2}=4$，$(x - 1)^{2}=\frac{4}{9}$，$x - 1=\pm\frac{2}{3}$，解得 $x_{1}=\frac{5}{3}$，$x_{2}=\frac{1}{3}$。
(2) $ 2x^{2}-4x - 5 = 0 $;解：$2x^{2}-4x - 5 = 0$，$x^{2}-2x=\frac{5}{2}$，$x^{2}-2x + 1=\frac{7}{2}$，$(x - 1)^{2}=\frac{7}{2}$，$x - 1=\pm\frac{\sqrt{14}}{2}$，解得 $x_{1}=1+\frac{\sqrt{14}}{2}$，$x_{2}=1-\frac{\sqrt{14}}{2}$。
(3) $ x(x - 3)-(2x - 6) = 0 $;解：$x(x - 3)-(2x - 6)=0$，$x(x - 3)-2(x - 3)=0$，$(x - 3)(x - 2)=0$，$x - 3 = 0$ 或 $x - 2 = 0$，解得 $x_{1}=3$，$x_{2}=2$。

答案：
(1)解：$9(x - 1)^{2}-4 = 0$，$9(x - 1)^{2}=4$，$(x - 1)^{2}=\frac{4}{9}$，$x - 1=\pm\frac{2}{3}$，解得 $x_{1}=\frac{5}{3}$，$x_{2}=\frac{1}{3}$。
(2)解：$2x^{2}-4x - 5 = 0$，$x^{2}-2x=\frac{5}{2}$，$x^{2}-2x + 1=\frac{7}{2}$，$(x - 1)^{2}=\frac{7}{2}$，$x - 1=\pm\frac{\sqrt{14}}{2}$，解得 $x_{1}=1+\frac{\sqrt{14}}{2}$，$x_{2}=1-\frac{\sqrt{14}}{2}$。
(3)解：$x(x - 3)-(2x - 6)=0$，$x(x - 3)-2(x - 3)=0$，$(x - 3)(x - 2)=0$，$x - 3 = 0$ 或 $x - 2 = 0$，解得 $x_{1}=3$，$x_{2}=2$。

1. (成华区一诊)若 $ (x + y)(x + y + 2) = 8 $, 则 $ x + y $ 的值为______$-4$ 或 $2$.

答案： $-4$ 或 $2$ 【解析】令 $x + y = a$，则 $(x + y)(x + y + 2)=a(a + 2)=8$，解得 $a_{1}=-4$，$a_{2}=2$，$\therefore x + y$ 的值为 $-4$ 或 $2$。

2. (石室联中)已知 $ (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-1) = 12 $, 则 $ x^{2}+y^{2} $ 的值是______4.

答案： $4$ 【解析】令 $x^{2}+y^{2}=a$，则 $(x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-1)=a(a - 1)=12$，解得 $a_{1}=-3$（舍去），$a_{2}=4$，$\therefore x^{2}+y^{2}$ 的值为 $4$。

3. (成外)若实数 $ x $ 满足 $ (x^{2}+2x)^{2}-2(x^{2}+2x) = 24 $, 则 $ x^{2}+2x $ 的值是______6.

答案： $6$ 【解析】令 $x^{2}+2x = a$，则 $(x^{2}+2x)^{2}-2(x^{2}+2x)=a^{2}-2a = 24$，解得 $a_{1}=6$，$a_{2}=-4$。①当 $a = -4$ 时，$x^{2}+2x=-4$，$\therefore x^{2}+2x + 4 = 0$。$\because \Delta = 2^{2}-4\times 1\times 4 = -12 ＜ 0$，$\therefore$ 此方程无解，$\therefore$ 此种情况不存在。②当 $a = 6$ 时，$x^{2}+2x = 6$，$\therefore x^{2}+2x - 6 = 0$。$\because \Delta = 2^{2}-4\times 1\times (-6)=28 ＞ 0$，$\therefore$ 此方程有解，$\therefore x^{2}+2x$ 的值为 $6$。

4. (金牛区一诊)已知实数 $ x $ 满足 $ (x + \frac{2}{x})^{2}-(x + \frac{2}{x}) = 6 $, 则 $ x + \frac{2}{x} = $______3.

答案： $3$ 【解析】令 $x+\frac{2}{x}=y$，则 $(x+\frac{2}{x})^{2}-(x+\frac{2}{x})=y^{2}-y = 6$，解得 $y_{1}=-2$，$y_{2}=3$。①当 $y = -2$ 时，$x+\frac{2}{x}=-2$，$\therefore x^{2}+2x + 2 = 0$。$\because \Delta = 2^{2}-4\times 1\times 2 = -4 ＜ 0$，$\therefore$ 此方程无解，$\therefore$ 此种情况不存在。②当 $y = 3$ 时，$x+\frac{2}{x}=3$，$\therefore x^{2}-3x + 2 = 0$。$\because \Delta = (-3)^{2}-4\times 1\times 2 = 1 ＞ 0$，$\therefore$ 此方程有解，$\therefore x+\frac{2}{x}=3$。