《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

7. (高新区一诊)如图 1,在平面直角坐标系中,直线 $y= 2x+b(b＞0)$ 分别与 $x$ 轴、$y$ 轴交于点 $A$,$B$,点 $D$ 在 $x$ 轴正半轴上,以 $AB$,$AD$ 为邻边作平行四边形 $ABCD$,点 $C$ 的坐标为 $(4,2)$。
(1)求点 $D$ 的坐标。
(2)$E$ 为线段 $AB$ 上一点,其横坐标为 $a$,过点 $E$ 作 $AB$ 的垂线,交 $x$ 轴于点 $F$,交直线 $CD$ 于点 $G$。
①如图 2,若 $a= -\frac{1}{2}$,求 $\triangle CEF$ 的面积；
②若以 $C$,$F$,$G$ 为顶点的三角形与 $\triangle AEF$ 相似,求 $a$ 的值。

答案：
解：
(1)$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AD// BC$，$AD=BC$。$\because AD$在$x$轴上，$C(4,2)$，$\therefore B(0,2)$。$\because$ 直线$y=2x+b$经过点$B(0,2)$，$\therefore b=2$，$\therefore$ 直线$AB$的解析式为$y=2x+2$。当$y=0$时，$2x+2=0$，解得$x=-1$，$\therefore A(-1,0)$。$\because AD=BC=4$，$\therefore D(3,0)$。
(2)①当$a=-\frac{1}{2}$时，$E(-\frac{1}{2},1)$。在$Rt\triangle ABO$中，$OA=1$，$OB=2$，$\angle AOB=90^{\circ}$，$\therefore AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}}{2}$。$\because EF\perp AB$，$\therefore \angle AEF=90^{\circ}=\angle AOB$。$\because \angle FAE=\angle BAO$，$\therefore \triangle AEF\backsim\triangle AOB$，$\therefore \frac{AF}{AB}=\frac{AE}{OA}$，即$\frac{AF}{\sqrt{5}}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{1}$，$\therefore AF=\frac{5}{2}$，$\therefore DF=AD - AF=4-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}$，$\therefore S_{\triangle CEF}=S_{\square ABCD}-S_{\triangle AEF}-S_{\triangle CDF}-S_{\triangle BCE}=4\times2-\frac{1}{2}\times\frac{5}{2}\times1-\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}\times2-\frac{1}{2}\times4\times1=\frac{13}{4}$。
②如图1，过点$E$作$EH\perp x$轴于点$H$，设点$E(a,2a + 2)$。
$\because EF\perp AB$，$\therefore \angle ABO+\angle BAO=\angle EFA+\angle BAO=90^{\circ}$，$\therefore \angle ABO=\angle EFA$，$\therefore \triangle EHF\backsim\triangle AOB$，$\therefore \frac{EH}{FH}=\frac{OA}{OB}=\frac{1}{2}$，$\therefore FH=2EH=2(2a + 2)=4a + 4$，$\therefore F(5a + 4,0)$。$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore BC=AD=4$，$\therefore DF=|-5a - 1|$，$AF=5a + 5$。当$\triangle AEF\backsim\triangle FGC$时，$\because EF\perp AB$，$\therefore EF\perp CD$，$\therefore \angle AEF=\angle CGF=90^{\circ}$。$\because AB// CG$，$\therefore \angle FAE=\angle FDG$，$\therefore \triangle ABO\backsim\triangle DFG$，$\therefore \frac{FG}{OB}=\frac{DG}{OA}=\frac{DF}{AB}=\frac{-5a - 1}{\sqrt{5}}$，$\therefore FG=\frac{-5a - 1}{\sqrt{5}}\cdot OB=\frac{-10a - 2}{\sqrt{5}}$，$DG=\frac{-5a - 1}{\sqrt{5}}\cdot OA=\frac{-5a - 1}{\sqrt{5}}$。$\because \triangle AEF\backsim\triangle FGC$，$\therefore \angle AFE=\angle FCG$。又$\because \angle AFE=\angle ABO$，$\therefore \angle FCG=\angle ABO$，$\therefore \triangle FCG\backsim\triangle ABO$，$\therefore \frac{FG}{CG}=\frac{OA}{OB}=\frac{1}{2}$，$\therefore 2FG=CG$，$\therefore 2\times\frac{-10a - 2}{\sqrt{5}}=\frac{-5a - 1}{\sqrt{5}}+\sqrt{5}$，解得$a=-\frac{8}{15}$。
当$\triangle AEF\backsim\triangle FGC$时，如图2，$\therefore \angle AFE=\angle GCF$。
$\because EF\perp CD$，$\therefore \angle AFE+\angle GDF=90^{\circ}$，$\therefore \angle GCF+\angle GDF=90^{\circ}$，$\therefore CF\perp FD$，$\therefore x_{C}=x_{F}=4$。$\because F(5a + 4,0)$，$\therefore 5a + 4=4$，解得$a=0$。
综上所述，$a$的值为$0$或$-\frac{8}{15}$。