《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

10. (青羊区一诊)已知在 $\triangle ABC$ 中,$AB= AC$,$\angle BAC= 90^{\circ}$,过点 $A$ 作直线 $DA// BC$,$CD\perp AD$ 于点 $D$,$E$ 是射线 $DA$ 上一动点,连接 $BE$,$CE$,在 $BE$ 右侧作 $\triangle BEF$,使得 $\triangle BEF\backsim\triangle CED$。
(1)如图,连接 $DF$ 交 $CE$ 于点 $G$,求证：$\triangle BEC\backsim\triangle FED$。
(2)在(1)问的条件下,若 $DE= DF$,试判断 $\triangle CDG$ 的形状并说明理由。
(3)若 $CD= 1$,延长 $BF$ 到点 $P$,使 $BF= FP$,连接 $EP$。
①当点 $P$ 落在 $\triangle ABC$ 的某条边上时,求 $DE$ 的长；
②连接 $AF$,直接写出线段 $AF$ 的长。

答案：

(1)证明：$\because \triangle BEF\backsim\triangle CED$，$\therefore \frac{BE}{EC}=\frac{EF}{ED}$，$\angle BEF=\angle CED$，$\therefore \frac{BE}{EF}=\frac{EC}{ED}$，$\angle BEF+\angle CEF=\angle CED+\angle CEF$，$\therefore \angle BEC=\angle FED$，$\therefore \triangle BEC\backsim\triangle FED$。
(2)解：$\triangle CDG$是等边三角形。理由如下：如图1，过点$A$作$AW\perp BC$于点$W$，过点$E$作$EV\perp BC$于点$V$。$\because AD// BC$，$\therefore EV=AW$。$\because$ 在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle BAC=90^{\circ}$，$AW\perp BC$，$\therefore AW=\frac{1}{2}BC$，$\therefore EV=\frac{1}{2}BC$。由
(1)得$\triangle BEC\backsim\triangle FED$，$\therefore \angle EDF=\angle BCE$，$\frac{BC}{DF}=\frac{CE}{DE}$。$\because DE=DF$，$\therefore CE=BC$，$\therefore EV=\frac{1}{2}CE$，$\therefore \angle BCE=30^{\circ}$。$\because ED// BC$，$\angle ADC=90^{\circ}$，$\therefore \angle BCD=180^{\circ}-\angle ADC=90^{\circ}$，$\therefore \angle BCD=\angle ADC$。$\because \angle EDF=\angle BCE=30^{\circ}$，$\therefore \angle GDC=\angle GCD=60^{\circ}$，$\therefore \triangle CDG$是等边三角形。
(3)解：①如图2，当点$P$落在$AB$上时，$\because BF=PF$，$\triangle BEF\backsim\triangle CED$，$\therefore EF\perp AB$，$\angle DEC=\angle BEF=\angle PEF$。由题易得$AC// EF$，$\therefore \angle ACE=\angle PEF$，$\therefore \angle ACE=\angle DEC$，$\therefore AE=AC$。$\because AB=AC$，$\angle BAC=90^{\circ}$，$CD=1$，$\therefore \angle DAC=\angle ACB=45^{\circ}$，$\therefore AD=CD=1$，由勾股定理，易得$AE=AC=\sqrt{2}$，$\therefore DE=AE + AD=\sqrt{2}+1$。
如图3，当点$P$落在$AC$上时，此时点$P$与点$C$重合，点$E$与点$A$重合，$\therefore DE=CD=1$。
综上所述，$DE=1$或$DE=\sqrt{2}+1$。
②$AF=1$。理由如下：如图4，过点$F$作$FM\perp DF$交直线$AD$于点$M$。$\because \triangle BEC\backsim\triangle FED$，$\therefore \frac{DF}{BC}=\frac{EF}{BE}$。$\because \angle BEF=\angle MDF$，$\angle MFD=\angle BFE=90^{\circ}$，$\therefore \triangle BEF\backsim\triangle MDF$，$\therefore \frac{EF}{BE}=\frac{DF}{DM}$，$\therefore \frac{DF}{BC}=\frac{DF}{DM}$，$\therefore DM=BC=2CD=2$。又$\because AD=CD=1$，$\therefore AM=AD=1$，即$A$为$DM$的中点。又$\because \angle MFD=90^{\circ}$，$\therefore AF=\frac{1}{2}DM=1$。