《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

1.(锦江区期末)一元二次方程$x^{2}-2\sqrt {3}x+5= 0$的根的情况为 (D)
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根

答案： D

2.(成华区一诊)下列一元二次方程有实数解的是 (D)
A.$x^{2}+2= 0$ B.$2x^{2}-x+1= 0$ C.$x^{2}-2x+2= 0$ D.$x^{2}+3x-2= 0$

答案： D

3.(天府新区期末)下列一元二次方程中,有两个相等实数根的是 (C)
A.$x^{2}-2x= 0$ B.$4x^{2}-4x+3= 0$ C.$x^{2}+4x+4= 0$ D.$2x^{2}+5x= -2$

答案： C

4.(师大一中)已知函数$y= kx+b$的图象如图所示,则一元二次方程$x^{2}+x+k-1= 0$的根的情况是 (C)
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.不确定

答案： C

5.(成外)已知关于$x的方程(m-1)x^{2}+4x-3-m= 0$.
(1)求证:方程总有实根;
(2)若方程的根都为正整数,求整数$m$的值.

答案：
(1)证明:①当$m - 1 = 0$,即$m = 1$时,原方程为$4x - 4 = 0$,解得$x = 1$,
∴当$m = 1$时,方程有实数根.
②当$m - 1 ≠ 0$,即$m ≠ 1$时,$\because \Delta = 4^{2} - 4(m - 1)(-3 - m) = 4m^{2} + 8m + 4 = 4(m + 1)^{2} ≥ 0$,
∴当$m ≠ 1$时,方程有实数根.
综上所述,方程总有实根.
(2)解:①当$m = 1$时,$x = 1$符合题意.
②当$m ≠ 1$时,整理方程$(m - 1)x^{2} + 4x - 3 - m = 0$,得$[(m - 1)x + (m + 3)](x - 1) = 0$,
解得$x_{1} = 1$,$x_{2} = \frac{m + 3}{1 - m} = -1 + \frac{4}{1 - m}$.
∵方程的根为正整数,
∴$-1 + \frac{4}{1 - m}$为正整数.
又
∵$m$为整数,
∴$1 - m = 1$或$2$,
∴$m = 0$或$-1$.
综上所述,$m$的值为$0$或$\pm 1$.