《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

7. (西川)在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },AB= 5,BC= 3$,将$△ABC$绕点 B 顺时针旋转得到$△A'BC'$,其中点 A,C 的对应点分别为点$A',C'.$
(1)如图 1,当点$A'$落在 CB 的延长线上时,连接$AA'$,求$AA'$的长.
(2)如图 2,连接$AC',AC'与边A'B$交于点 M,当$∠A'MC'= ∠A'C'M$时,求点 B 到直线$AC'$的距离.
(3)如图 3,连接$AA',D为AA'$的中点,E 为 AC 的中点,连接 DE.在旋转过程中,若$△ADE$是以 DE 为直角边的直角三角形,求 DE 的长.

答案：
解:
(1) $\because \angle ACB = 90^{\circ},AB = 5,BC = 3,\therefore AC = \sqrt{AB^{2}-BC^{2}} = \sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$. $\because$ 将 $\triangle ABC$ 绕点 $B$ 顺时针旋转得到 $\triangle A'BC'$, 点 $A'$ 落在 $CB$ 的延长线上, $\therefore A'B = AB = 5,\therefore A'C = A'B + BC = 5 + 3 = 8$, $\therefore AA' = \sqrt{A'C^{2}+AC^{2}} = \sqrt{8^{2}+4^{2}} = 4\sqrt{5}$.
(2) 如图 1, 过点 $B$ 作 $BK\perp AC'$ 于点 $K$, 过点 $A'$ 作 $A'T\perp AC'$ 于点 $T$.
$\because \angle A'MC' = \angle A'C'M,\therefore A'M = A'C' = AC = 4,\therefore BM = A'B - A'M = 1,MT = C'T$. $\because \angle A'MT = \angle BMK,\angle A'TM = 90^{\circ} = \angle BKM,\therefore\triangle A'TM\backsim\triangle BKM$, $\therefore \frac{A'T}{BK} = \frac{MT}{MK} = \frac{A'M}{BM} = \frac{4}{1},\therefore A'T = 4BK,MT = 4MK$. 设 $BK = x,MK = y$, 则 $A'T = 4x,MT = 4y = C'T,\therefore C'K = MK + MT + C'T = 9y$. $\because$ 在 $Rt\triangle BKC'$ 中, $BK^{2}+C'K^{2} = BC'^{2},\therefore x^{2}+81y^{2} = 9$ ①. $\because$ 在 $Rt\triangle A'TM$ 中, $MT^{2}+A'T^{2} = A'M^{2}$, $\therefore 16y^{2}+16x^{2} = 16$ ②. 由 ①② 可得 $x = \frac{3\sqrt{10}}{10}$ (负值已舍去), $\therefore BK = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, 即点 $B$ 到直线 $AC'$ 的距离为 $\frac{3\sqrt{10}}{10}$.
(3) 当 $E$ 为直角顶点, 点 $A'$ 在 $AB$ 上方时, 连接 $A'C$, 如图 2 所示.
$\because D$ 为 $AA'$ 的中点, $E$ 为 $AC$ 的中点, $\therefore DE$ 为 $\triangle AA'C$ 的中位线, $\therefore DE// A'C,DE = \frac{1}{2}A'C,\therefore \angle ACA' = \angle AED = 90^{\circ}$. $\because \angle ACB = 90^{\circ},\therefore A',C,B$ 三点共线, $\therefore A'C = A'B - BC = AB - BC = 5 - 3 = 2$, $\therefore DE = \frac{1}{2}A'C = 1$. 当 $E$ 为直角顶点, 点 $A'$ 在 $AB$ 下方时, 如图 3 所示.
同理可得 $DE// A'C,DE = \frac{1}{2}A'C,\therefore \angle ACA' = \angle AED = 90^{\circ}$. $\because \angle BCA = 90^{\circ},\therefore$ 点 $B$ 在 $A'C$ 上, 即 $A',C,B$ 三点共线, $\therefore A'C = BC + A'B = 3 + 5 = 8$, $\therefore DE = \frac{1}{2}A'C = 4$. 当 $D$ 为直角顶点时, 如图 4 所示.
$\because E$ 为 $AC$ 的中点, $\therefore CE = AE = \frac{1}{2}AC = 2$, $\therefore BE = \sqrt{CE^{2}+BC^{2}} = \sqrt{2^{2}+3^{2}} = \sqrt{13}$. $\because \angle ADE = \angle C = 90^{\circ},\angle AED = \angle BEC$, $\therefore\triangle ADE\backsim\triangle BCE,\therefore \frac{DE}{AE} = \frac{CE}{BE}$, 即 $\frac{DE}{2} = \frac{2}{\sqrt{13}}$, $\therefore DE = \frac{4\sqrt{13}}{13}$. 综上所述, $DE$ 的长为 $1$ 或 $4$ 或 $\frac{4\sqrt{13}}{13}$.