《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

1. (七中高新) 两个矩形按如图所示的方式放置, 若 $∠1 = 150^{\circ}$, 则 $∠2 = $ (B)

A. $15^{\circ}$
B. $30^{\circ}$
C. $45^{\circ}$
D. $60^{\circ}$

答案： B

2. (高新区一诊) 如图, 在矩形 $ABCD$ 中, 对角线 $AC, BD$ 相交于点 $O, AE ⊥ BD$, 垂足为 $E, AE = 3$, $ED = 3BE$, 则 $AB$ 的长为 (C)

A. 6
B. 5
C. $2\sqrt{3}$
D. $3\sqrt{3}$

答案： C

3. (成外) 如图, 矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O, AE$ 平分 $∠BAD$ 交 $BC$ 于点 $E$. 如果 $BO = BE$, 那么 $∠BOE$ 的度数为 (C)

A. $55^{\circ}$
B. $65^{\circ}$
C. $75^{\circ}$
D. $67.5^{\circ}$

答案： C

4. (成华区一诊) 如图, 在矩形 $ABCD$ 中, 对角线 $AC, BD$ 相交于点 $O, E$ 是边 $AD$ 的中点, 点 $F$ 在对角线 $AC$ 上, 且 $AF = \frac{1}{4}AC$, 连接 $EF$. 若 $AC = 10$, 则 $EF$ 的长为 (A)

A. $\frac{5}{2}$
B. 3
C. 4
D. 5

答案： A

5. (成华区一诊) 如图, 在矩形 $ABCD$ 中, $AB = 3, AD = 4, P$ 是对角线 $BD$ 上一动点, 过点 $P$ 分别作 $BC, CD$ 的垂线, 垂足分别为 $E, F$, 连接 $EF$, 则 $EF$ 的最小值为____.

答案：
$\frac{12}{5}$ 【解析】如图,连接 $CP$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore \angle A=\angle DCB=90^{\circ}$. $\because PE\perp BC$,$PF\perp CD$,$\therefore$ 四边形 $PECF$ 是矩形,$\therefore CP=EF$,$\therefore EF$ 的最小值就是 $CP$ 的最小值,$\therefore$ 当 $CP\perp BD$ 时,$CP$ 取最小值. 此时,在 $Rt\triangle BAD$ 中,$\angle BAD=90^{\circ}$,$AB=3$,$AD=4$,$\therefore BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=5$. $\because S_{\triangle BCD}=S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot AD=\frac{1}{2}BD\cdot CP$,$\therefore 3\times 4=5CP$,$\therefore CP=\frac{12}{5}$,$\therefore EF$ 的最小值为 $\frac{12}{5}$.

6. (七中育才) 如图, 在矩形 $ABCD$ 中, $O$ 为对角线 $BD$ 上一点, 过点 $O$ 作 $EF // BC$, 分别交 $AB, CD$ 于点 $E, F$, 作 $GH // CD$, 分别交 $AD, BC$ 于点 $G, H$, 连接 $EG$. 已知 $GD = EB = 4$, 则 $△AEG$ 的面积等于____8.

答案： 8 【解析】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore S_{\triangle ABD}=S_{\triangle CDB}$,$AD// BC$,$AB// CD$,$\angle A=\angle ABC=\angle C=\angle ADC=90^{\circ}$. $\because EF// BC$,$GH// CD$,$\therefore AD// EF// BC$,$AB// GH// CD$,$\therefore$ 四边形 $AEOG$、四边形 $BEOH$、四边形 $CFOH$、四边形 $DFOG$ 都是矩形,$\therefore S_{\triangle BOE}=S_{\triangle BOH}$,$S_{\triangle DOG}=S_{\triangle DOF}$,$OF=GD=EB=OH=4$,$\therefore S_{\triangle BOE}+S_{\triangle DOG}=S_{\triangle BOH}+S_{\triangle DOF}$, 四边形 $CFOH$ 是正方形. $\because S_{\triangle BOE}+S_{\triangle DOG}+S_{矩形AEOG}=S_{\triangle BOH}+S_{\triangle DOF}+S_{正方形CFOH}$,$\therefore S_{矩形AEOG}=S_{正方形CFOH}=4^{2}=16$,$\therefore S_{\triangle AEG}=\frac{1}{2}S_{矩形AEOG}=8$.