《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

7. (新都区期末)如图,在边长为 3 的正方形 ABCD 中,M 是 DC 边上的一点,$MC= 1$,连接 BM,将$\triangle BCM$沿 BM 折叠得到$\triangle BNM$,BN 交 AC 于点 H,则$AH= $____$\frac{12\sqrt{2}}{7}$.

答案： $\frac{12\sqrt{2}}{7}$

8. (七中育才)如图,在$\triangle ABC$中,点 D 在 BC 边上,过点 C 作一直线与边 AB,AD 分别交于点 F,E.
(1)如图 1,当$\frac {BD}{DC}= \frac {1}{2}$时,求证:$\frac {AE}{ED}= \frac {3AF}{2FB}$.
(2)如图 2,当$\frac {BD}{DC}= \frac {m}{n}$时,猜想$\frac {AE}{ED}与\frac {AF}{FB}$之间是否存在着一定的数量关系? 若存在,请写出它们之间的关系式,并给出证明过程;若不存在,请说明理由.

答案：

(1)证明:如图1,过点D作DG//FC交AB于点G,则$\frac{BG}{FG}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{1}{2}$,
∴FG=$\frac{2}{3}$FB.
∵EF//DG,
∴$\frac{AE}{ED}$=$\frac{AF}{FG}$=$\frac{AF}{\frac{2}{3}FB}$=$\frac{3AF}{2FB}$.
(2)解:猜想$\frac{AE}{ED}$=$\frac{(m+n)AF}{nFB}$.
　证明:如图2,过点D作DG//FC交AB于点G,则$\frac{BG}{FG}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{m}{n}$,
∴FG=$\frac{n}{m + n}$·FB,
∴$\frac{AE}{ED}$=$\frac{AF}{FG}$=$\frac{AF}{\frac{n}{m + n} \cdot FB}$=$\frac{(m + n)AF}{nFB}$.