《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

11. (锦江区期末)
【探究】(1) 如图 1, 四边形 $ABCD$ 是矩形, 以对角线 $AC$ 为直角边作等腰直角三角形 $EAC$, 且 $∠EAC = 90^{\circ}$. 请证明: $EC^{2} = 2AB^{2} + 2BC^{2}$.
【应用】(2) 如图 2, 在矩形 $ABCD$ 中, $AB = 2, BC = 6, P$ 是 $AD$ 上一点, 且 $0 ＜ AP ＜ 4$, 连接 $PC$, 以 $PC$ 为直角边作等腰直角三角形 $EPC, ∠EPC = 90^{\circ}$. 设 $AP = x, EC = y$, 请求出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式.
【拓展】(3) 在 (2) 的条件下, 连接 $BE$, 若点 $P$ 在线段 $AD$ 上运动, 在点 $P$ 的运动过程中, 当 $△EBC$ 是等腰三角形时, 求 $AP$ 的长.

答案：

(1)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$AC$ 是对角线,$\therefore \angle B=90^{\circ}$,$\therefore AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$. $\because$ 以 $AC$ 为直角边作等腰直角三角形 $EAC$,且 $\angle EAC=90^{\circ}$,$\therefore EC^{2}=2AC^{2}=2AB^{2}+2BC^{2}$.
(2)解:$\because$ 以 $PC$ 为直角边作等腰直角三角形 $EPC$,$\angle EPC=90^{\circ}$,$\therefore EC^{2}=2PC^{2}=2PD^{2}+2DC^{2}=2[(AD-AP)^{2}+DC^{2}]$,$\therefore y=\sqrt{2[(6-x)^{2}+2^{2}]}=\sqrt{2x^{2}-24x+80}$.
(3)解:如图 1,过点 $E$ 作 $EF\perp BC$ 于点 $F$,交 $AD$ 于点 $Q$. $\because \triangle EPC$ 是等腰直角三角形,$\angle EPC=90^{\circ}$,$\therefore EP=PC$. $\because EF\perp BC$,$BC// AD$,$\therefore EF\perp AD$,$\therefore \angle EQP=\angle D=90^{\circ}$,$\angle EPQ+\angle DPC=\angle EPQ+\angle PEQ=90^{\circ}$,$\therefore \angle DPC=\angle PEQ$,$\therefore \triangle EPQ\cong \triangle PCD(AAS)$,$\therefore PQ=CD=2$. $\because AP=x$,$AD=6$,$AB=2$,$\therefore BF=x+2$,$CF=4-x$,$\therefore EF=\sqrt{CE^{2}-CF^{2}}=8-x$. ①当 $EC=BC$ 时,$\sqrt{2x^{2}-24x+80}=6$,解得 $x_{1}=6-\sqrt{14}$,$x_{2}=6+\sqrt{14}$(舍去). ②当 $BE=BC$ 时,$(8-x)^{2}+(x+2)^{2}=6^{2}$,此方程无解,这种情形不存在. ③当 $BE=EC$ 时,点 $E$ 在 $BC$ 的垂直平分线上,作 $EM\perp BC$ 交 $AD$ 于点 $M$,如图 2 所示,则 $AM=3$,$\triangle PEM\cong \triangle CPD(AAS)$,$\therefore PM=CD=2$,$\therefore AP=1$. 综上所述,$AP=1$ 或 $AP=6-\sqrt{14}$ 时,$\triangle EBC$ 是等腰三角形.