《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

6.(成华区一诊)如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD相交于点O$,在$BA的延长线上取一点E$,连接$OE交AD于点F$.若$CD= 5$,$BC= 8$,$AE= 2$,则$AF= $____.

答案：
$\frac{16}{9}$　[解析]如图，过点O作OM//AD交AB于点M.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OM//AD//BC,OB=OD,
∴AM=BM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$,OM=$\frac{1}{2}$BC=4.
∵AF//OM,
∴△AEF∽△MEO,
∴$\frac{AE}{EM}=\frac{AF}{OM}$，
∴$\frac{2}{2 + \frac{5}{2}}=\frac{AF}{4}$，
∴AF=$\frac{16}{9}$.
　　　　　　　

7.(龙泉驿区一诊)如图,在正方形$ABCD$中,$AB= 2$,$E为AD$上一动点,将三角形$ABE沿BE$折叠,点$A落在点F$处,连接$DF$并延长,与边$AB交于点G$.若$G为AB$的中点,则$AE$的长为$\frac{2}{3}$.

答案： $\frac{2}{3}$

8.(成华区一诊)如图,在矩形$ABCD$中,延长$BC到点E$,延长$CB到点F$,使$BF= CE$,$AE与DF交于点G$.
(1)求证:$GE= GF$;
(2)过点$E作EF$的垂线,交$FD的延长线于点H$,若$\frac {AB}{HE}= \frac {3}{4}$,$AD= 4$,求$CE$的长.

(1)证明:∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE =∠DCF=90°,AB=DC.
　∵BF=CE,∴BF+BC=CE+BC,即CF=BE.
　在△ABE和△DCF中，$\begin{cases} AB = DC, \\ \angle ABE = \angle DCF, \\ BE = CF, \end{cases}$
∴△ABE≌△DCF(SAS),∴∠AEB=∠DFC,∴GE=GF.
(2)解:∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC,BC=AD=4,∠DCB=90°,即DC⊥EF.
又∵HE⊥EF,∴DC//HE,∴△CDF∽△EHF,∴$\frac{DC}{HE}=\frac{CF}{EF}$，∴$\frac{AB}{HE}=\frac{BC + BF}{BC + BF + CE}$。∵BF = CE，$\frac{AB}{HE} = \frac{3}{4}$，∴$\frac{4 + CE}{4 + 2CE} = \frac{3}{4}$，解得CE = 2。

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE =∠DCF=90°,AB=DC.
∵BF=CE,
∴BF+BC=CE+BC,即CF=BE.
　在△ABE和△DCF中，$\begin{cases} AB = DC, \\ \angle ABE = \angle DCF, \\ BE = CF, \end{cases}$
∴△ABE≌△DCF(SAS),
∴∠AEB=∠DFC,
∴GE=GF.
(2)解:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC,BC=AD=4,∠DCB=90°,即DC⊥EF.
又
∵HE⊥EF,
∴DC//HE,
∴△CDF∽△EHF,
∴$\frac{DC}{HE}=\frac{CF}{EF}$，
∴$\frac{AB}{HE}=\frac{BC + BF}{BC + BF + CE}$。
∵BF = CE，$\frac{AB}{HE} = \frac{3}{4}$，
∴$\frac{4 + CE}{4 + 2CE} = \frac{3}{4}$，解得CE = 2。

1. (成外)如图,在$□ ABCD$中,$E是BC$上的一点,且$BE:EC= 2:3$,$AE交BD于点F$,则$BF:FD$等于(A)

A. $2:5$
B. $3:5$
C. $2:3$
D. $5:7$

答案： A

2. (高新区期末)小孔成像的原理是光的直线传播.如图,一发光的电子蜡烛$AB$(竖直放置)经小孔$O$在屏幕(竖直放置)上成像$A'B'$.若$AB= 24cm$,$A'B'= 8cm$,小孔$O到AB的距离为45cm$,则小孔$O到A'B'$的距离为______15$cm$.

答案： 15