《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

1. (成华区一诊)下列命题为假命题的是 (D)
A. 对角线相等的平行四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C. 有一组邻边相等的矩形是正方形
D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形

答案： D

2. (青羊区一诊)下列说法中,正确的是 (C)
A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D. 一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形

答案： C

3. (实外)如图,四边形 ABCD 为矩形,E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点,则四边形 EFGH 的形状是 (C)

A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形

答案： C

4. (成华区期末)顺次连接菱形四边的中点形成的四边形是 (A)
A. 矩形
B. 菱形
C. 正方形
D. 无法判定

答案： A

5. (金牛区一诊)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,DE//AC,AE//BD,则四边形 AODE 一定是 (C)

A. 正方形
B. 菱形
C. 矩形
D. 不能确定

答案： C

6. (温江区一诊)如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D,交 AB 于点 E,点 F 在 DE 的延长线上,且 AF= CE.
(1)四边形 ACEF 是平行四边形吗? 请说明理由.
答：四边形 ACEF 是平行四边形。理由如下：∵在△ABC 中，∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=∠ACE+∠BCE=90°。又∵直线 DE 是线段 BC 的垂直平分线，∴BE=CE，BD=CD，∴∠B=∠BCE，∴∠BAC=∠ACE，∴AE=CE=AF=BE，∴∠AEF=∠F。又∵BE=AE，BD=CD，∴DE//AC，∴∠ACE=∠BAC=∠AEF=∠F，∴∠FAE=∠AEC，∴AF//EC。又∵AF=EC，∴四边形 ACEF 是平行四边形。
(2)当∠B 的大小满足什么条件时,四边形 ACEF 为菱形? 请说明你的结论.
答：当∠B=30°时，四边形 ACEF 为菱形。理由如下：∵在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=1/2AB。由(1)知 CE=1/2AB，∴AC=CE。又由(1)知四边形 ACEF 为平行四边形，∴四边形 ACEF 为菱形。
(3)四边形 ACEF 有可能是正方形吗? 为什么?
答：四边形 ACEF 不可能是正方形。理由如下：∵∠ACB=90°，∠ACE＜∠ACB，∴∠ACE＜90°，∴∠ACE 不能为直角，∴四边形 ACEF 不可能是正方形。

答案： 解:
(1)四边形 $ ACEF $ 是平行四边形. 理由如下:
$ \because $ 在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle ACB = 90^{\circ} $, $ \therefore \angle B + \angle BAC = \angle ACE + \angle BCE = 90^{\circ} $.
又 $ \because $ 直线 $ DE $ 是线段 $ BC $ 的垂直平分线, $ \therefore BE = CE $, $ BD = CD $, $ \therefore \angle B = \angle BCE $, $ \therefore \angle BAC = \angle ACE $, $ \therefore AE = CE = AF = BE $, $ \therefore \angle AEF = \angle F $.
又 $ \because BE = AE $, $ BD = CD $, $ \therefore DE // AC $,
$ \therefore \angle ACE = \angle BAC = \angle AEF = \angle F $,
$ \therefore \angle FAE = \angle AEC $, $ \therefore AF // EC $.
又 $ \because AF = EC $, $ \therefore $ 四边形 $ ACEF $ 是平行四边形.
(2)当 $ \angle B = 30^{\circ} $ 时, 四边形 $ ACEF $ 为菱形. 理由如下: $ \because $ 在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle ACB = 90^{\circ} $, $ \angle B = 30^{\circ} $, $ \therefore AC = \frac{1}{2}AB $.
由
(1)知 $ CE = \frac{1}{2}AB $, $ \therefore AC = CE $.
又由
(1)知四边形 $ ACEF $ 为平行四边形,
$ \therefore $ 四边形 $ ACEF $ 为菱形.
(3)四边形 $ ACEF $ 不可能是正方形. 理由如下:
$ \because \angle ACB = 90^{\circ} $, $ \angle ACE ＜ \angle ACB $,
$ \therefore \angle ACE ＜ 90^{\circ} $,
$ \therefore \angle ACE $ 不能为直角, $ \therefore $ 四边形 $ ACEF $ 不可能是正方形.