《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

7. (金牛区二诊)在实数范围内,关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 的两个根分别为 $x_{1},x_{2}$,则方程可写成 $a(x - x_{1})(x - x_{2}) = 0$,即 $ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x + ax_{1}x_{2}= 0$,容易发现根与系数的关系:$x_{1}+x_{2}= -\frac{b}{a},x_{1}x_{2}= \frac{c}{a}$.设关于 $x$ 的一元三次方程 $ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0(a\neq0)$ 的三个非零实数根分别为 $x_{1},x_{2},x_{3}$,则 $x_{1}x_{2}x_{3}=$$ -\frac{d}{a} $;若 $x^{3}-6x^{2}+11x - 6 = 0$,则 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=$14.

答案： $ -\frac{d}{a} $ 14 【解析】
(1)
∵关于x的一元三次方程$ ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0(a≠0) $的三个非零实数根分别为$ x_{1},x_{2},x_{3} $,
∴方程可以写成$ a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=0 $,即$ ax^{3}-(x_{1}+x_{2}+x_{3})x^{2}+a(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3})x-ax_{1}x_{2}x_{3}=0 $,
∴$ -ax_{1}x_{2}x_{3}=d $,
∴$ x_{1}x_{2}x_{3}=-\frac{d}{a} $.
(2)
∵$ x^{3}-6x^{2}+11x-6=0 $,
∴$ x^{3}-6x^{2}+9x+(2x-6)=0 $,
∴$ x(x-3)^{2}+2(x-3)=0 $,
∴$ (x-3)(x^{2}-3x+2)=0 $,
∴$ (x-3)(x-1)(x-2)=0 $,
∴$ x-3=0 $或$ x-1=0 $或$ x-2=0 $,
∴$ x_{1}=3 $,$ x_{2}=1 $,$ x_{3}=2 $,
∴$ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}=14 $.

8. (七中育才)
【背景】法国数学家弗朗索瓦·韦达于 1615 年在其著作《论方程的识别与订正》中提出了说明一元二次方程中根与系数之间关系的韦达定理. 根据韦达定理,不仅可以根据已知的一元二次方程求出两根的和与乘积,还可以根据两根的和与乘积构造一元二次方程.
【探究】写出符合条件的一元二次方程,使得其两根 $x_{1},x_{2}$ 满足:
①$x_{1}+x_{2}= -3,x_{1}\cdot x_{2}= 2$,方程:$x^{2}+3x+2=0$;
②$x_{1}+x_{2}= A,x_{1}\cdot x_{2}= B$,方程:$x^{2}+$(-A)$x+$B$=0$.
【应用】$m = 2+\sqrt{2},n = 2-\sqrt{2}$,若 $(3m^{2}-12m + a)(4n^{2}-16n - 7)= 30$,求 $a$ 的值.
【推广】若实数 $a,b,c$ 满足 $a + b + c = 0,abc = 2$,求正数 $c$ 的最小值.

答案： 解:【探究】①$ x^{2}+3x+2=0 $ ②(-A) B
【应用】
∵$ m=2+\sqrt{2} $,$ n=2-\sqrt{2} $,
∴$ m-2=\sqrt{2} $,$ (m-2)^{2}=2 $,$ m^{2}-4m+2=0 $.
同理,$ n^{2}-4n+2=0 $,
∴$ m^{2}-4m=-2 $,$ n^{2}-4n=-2 $.
∵$ (3m^{2}-12m+a)(4n^{2}-16n-7)=30 $,
∴$ (-6+a)(-8-7)=30 $,解得$ a=4 $.
【推广】
∵$ a+b+c=0 $,$ abc=2 $,
∴$ a+b=-c $,$ ab=\frac{2}{c} $,
∴方程的两根是a和b的一元二次方程为$ x^{2}+cx+\frac{2}{c}=0 $.
∵c是正数,
∴方程一定有两根,
∴$ △=c^{2}-4\cdot\frac{2}{c}≥0 $.
整理,得$ c^{3}-8≥0 $,即$ c^{3}≥8 $,解得$ c≥2 $,
∴正数c的最小值为2.

9. (石室联中)如果关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ 有两个实数根,且其中一个根是另一个根的 3 倍,那么称这样的方程为“三倍根方程”. 例如:方程 $x^{2}-4x + 3 = 0$ 的两个根是 1 和 3,则这个方程就是“三倍根方程”.
(1)方程 $x^{2}-3x + 2 = 0$______不是(填“是”或“不是”)“三倍根方程”;
(2)若关于 $x$ 的方程 $x^{2}-6x + c = 0$ 是“三倍根方程”,求 $c$ 的值;$\frac{27}{4}$
(3)若 $x^{2}-(m + n)x + mn = 0$ 是关于 $x$ 的“三倍根方程”,求代数式 $\frac{mn}{m^{2}+n^{2}}$ 的值.$\frac{3}{10}$

答案： 解:
(1)不是
(2)设方程$ x^{2}-6x+c=0 $的两根为t,3t.根据根与系数的关系得$ t+3t=6 $,$ t\cdot3t=c $,解得$ t=\frac{3}{2} $,所以$ c=3×(\frac{3}{2})^{2}=\frac{27}{4} $.
(3)设方程$ x^{2}-(m+n)x+mn=0 $的两根为a,3a.根据根与系数的关系得$ a+3a=m+n $,$ a\cdot3a=mn $,即$ m+n=4a $,$ mn=3a^{2} $,所以$ \frac{mn}{m^{2}+n^{2}}=\frac{mn}{(m+n)^{2}-2mn}=\frac{3a^{2}}{16a^{2}-2×3a^{2}}=\frac{3}{10} $.