《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

14. (嘉祥)如图,点A(m,6),B(n,1)在反比例函数的图象上,AD⊥x轴于点D,BC⊥x轴于点C,DC= 5。
(1)求m,n的值并写出反比例函数的表达式。m=1，n=6，反比例函数的表达式为y=6/x。
(2)连接AB,E是线段AB上的一点,过点E作x轴的垂线,交反比例函数的图象于点F。若$EF= \frac {1}{3}AD$,求点E的坐标。点E的坐标为(2,5)或(3,4)。

答案： 解：
(1) 设反比例函数的解析式为 $ y = \frac{k}{x} $.
∵ 点 $ A(m, 6) $，$ B(n, 1) $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ ($ x ＞ 0 $) 的图象上，
∴ $ k = 6m = n $.
又
∵ $ AD \perp x $ 轴，$ BC \perp x $ 轴，$ DC = 5 $，
∴ $ n - m = 5 $，
∴ $ m = 1 $，$ n = k = 6 $，
∴ 反比例函数的表达式为 $ y = \frac{6}{x} $.
(2) 设直线 $ AB $ 的表达式为 $ y = ax + b $. 把点 $ A(1, 6) $ 和点 $ B(6, 1) $ 的坐标分别代入 $ y = ax + b $，得 $ \begin{cases} a + b = 6, \\ 6a + b = 1, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = -1, \\ b = 7, \end{cases} $
∴ 直线 $ AB $ 的表达式为 $ y = -x + 7 $.
设点 $ E(t, -t + 7) $，则点 $ F(t, \frac{6}{t}) $，
∴ $ EF = -t + 7 - \frac{6}{t} $.
又
∵ $ EF = \frac{1}{3}AD $，
∴ $ -t + 7 - \frac{6}{t} = \frac{1}{3} \times 6 $，解得 $ t_1 = 2 $，$ t_2 = 3 $，
∴ 点 $ E $ 的坐标为 $ (2, 5) $ 或 $ (3, 4) $.

1. (郫都区一诊)如图,反比例函数为$y= 2x^{-1}$,圆$O的半径为2$,则图中阴影部分的面积为$\pi$。

答案： $\pi$

2. (青白江区一诊)正比例函数$y= 2x的图象与反比例函数y= \frac{m}{x}的图象相交于A(1,n)$,$B$两点,则点$B$的坐标为______(-1,-2)。

答案： $(-1,-2)$

3. (武侯区一诊)直线$y= kx(k＜0)与双曲线y= -\frac{2}{x}交于A(x_{1},y_{1})$,$B(x_{2},y_{2})$两点,则$3x_{1}y_{2}-8x_{2}y_{1}$的值是-10。

答案： $-10$