《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

6.(青羊区期末)如图,$△ABC$是边长为6的等边三角形,D为AB边上一点,$BD= 4$,E为BC边上的动点,以E为顶点作$∠DEF= 60^{\circ }$,射线EF交AC边于点F.
(1)如图1,若$BE= 1$,求CF的长；
(2)如图1,当点E在线段BC上运动时,求CF的取值范围；
(3)如图2,过点D作$DP⊥DE$交射线EF于点P,连接AP,当$\frac {EF}{FP}= \frac {1}{3}$时,求AP的长.

答案：
解:
(1)
∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴AB = BC = AC = 6，∠B = ∠C = 60°。
∵∠DEC = ∠B + ∠BDE = ∠DEF + ∠CEF，∠DEF = ∠B = 60°，
∴∠BDE = ∠CEF。又
∵∠B = ∠C，
∴△BDE∽△CEF，
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{BE}{CF}$，
∴$\frac{4}{6 - 1}=\frac{1}{CF}$，
∴CF = $\frac{5}{4}$。
(2)当点E与点B重合时，点F与点C重合，则CF的最小值为0。由
(1)可知$\frac{BD}{CE}=\frac{BE}{CF}$，
∴$\frac{4}{CE}=\frac{6 - CE}{CF}$，
∴CF = $\frac{-CE^{2}+6CE}{4}=\frac{-(CE - 3)^{2}+9}{4}$，
∴当CE = 3时，CF有最大值为$\frac{9}{4}$，
∴0 ≤ CF ≤ $\frac{9}{4}$。
(3)
∵DP⊥DE，∠DEF = 60°，
∴∠DPE = 30°，
∴PE = 2DE，PD = $\sqrt{3}$DE。
∵$\frac{EF}{PF}=\frac{1}{3}$，
∴PF = 3EF，
∴PE = 4EF，
∴DE = 2EF。同理易证△BDE∽△CEF，
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{BE}{CF}=\frac{DE}{EF}=2$，
∴CE = 2，BE = 2CF，
∴BE = 4，
∴CF = 2。又
∵∠ACB = 60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF = CF = 2，
∴EP = 8，
∴DE = 4，
∴DP = 4$\sqrt{3}$。如图，过点P作PH⊥BA，交BA的延长线于点H。
∵BD = BE = 4，∠ABC = 60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDE = 60°，
∴∠PDH = 180° - 60° - 90° = 30°，
∴HP = $\frac{1}{2}$PD = 2$\sqrt{3}$，DH = $\sqrt{3}$HP = 6，
∴AH = DH - AD = 6 - 2 = 4，
∴AP = $\sqrt{AH^{2}+HP^{2}}=\sqrt{16 + 12}=2\sqrt{7}$。