《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

8. (石室联中)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+(2m + 1)x + m - 1 = 0 $. 若方程的一个根为 2,求 $ m $ 的值和方程的另一个根.

答案： 解:把 $x = 2$ 代入方程 $x^{2}+(2m + 1)x + m - 1 = 0$, 得 $2^{2}+2(2m + 1)+m - 1 = 0$, 解得 $m = -1$,
∴ 该一元二次方程为 $x^{2}-x - 2 = 0$, 解得 $x_{1} = -1$, $x_{2} = 2$.
故 $m$ 的值和方程的另一个根都是 $-1$.

1. (七中育才)已知 $ x = 1 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+ax + 2b = 0 $ 的解,则 $ 2a + 4b $ 的值为 (A)
A. -2
B. -3
C. -1
D. 6

答案： A

2. (实外)已知 $ a $ 是方程 $ x^{2}-5x + 1 = 0 $ 的一个根,则 $ a+\frac{1}{a}-3 $ 的值为 (C)
A. 4
B. 3
C. 2
D. 13

答案： C

3. (新都区一诊)已知 $ a $ 是方程 $ x^{2}-2x - 1 = 0 $ 的一个根,则代数式 $ 2a^{2}-4a - 1 $ 的值为1.

答案： $1$

4. (嘉祥)已知 $ m $ 是方程 $ x^{2}+x - 3 = 0 $ 的根,则 $ m^{3}+2m^{2}-2m + 2020 $ 的值为2023.

答案： $2023$

5. (树德实验)已知 $ m $ 是方程 $ x^{2}-3x + 1 = 0 $ 的一个根,则 $ (m - 3)^{2}+(m + 2)(m - 2) $ 的值是______3.

答案： $3$

6. (西川)已知 $ m $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2020x + 1 = 0 $ 的一个根,求代数式 $ m^{2}-2021m+\frac{m^{2}+1}{2020}+3 $ 的值.

答案： 解：因为$m$是方程$x^{2}-2020x + 1 = 0$的根，所以$m^{2}-2020m+1 = 0$，即$m^{2}=2020m - 1$，$m^{2}+1 = 2020m$。
将$m^{2}=2020m - 1$，$m^{2}+1 = 2020m$代入$m^{2}-2021m+\frac{m^{2}+1}{2020}+3$可得：
$\begin{aligned}&(2020m - 1)-2021m+\frac{2020m}{2020}+3\\=&2020m - 1 - 2021m + m + 3\\=&(2020m - 2021m + m)+(3 - 1)\\=&0 + 2\\=&2\end{aligned}$
所以代数式$m^{2}-2021m+\frac{m^{2}+1}{2020}+3$的值为$2$。

1. (金牛区一诊)用配方法解一元二次方程 $ x^{2}-4x - 1 = 0 $, 配方后得到的方程是 (D)
A. $ (x - 2)^{2} = 1 $
B. $ (x - 2)^{2} = 4 $
C. $ (x - 2)^{2} = 3 $
D. $ (x - 2)^{2} = 5 $

答案： D

2. (锦江区一诊)若一个三角形的两边长分别是 3 和 6, 第三边的长是方程 $ x^{2}-6x + 8 = 0 $ 的解, 则这个三角形的周长是 (B)
A. 11
B. 13
C. 11 或 13
D. 11 和 13

答案： B 【解析】解方程 $x^{2}-6x + 8 = 0$，得 $x_{1}=2$，$x_{2}=4$。①当 $x = 2$ 时，这个三角形的三边长分别为 $2$，$3$，$6$。$\because 2 + 3 ＜ 6$，$\therefore$ 此时不能构成三角形，$\therefore$ 此种情况不存在。②当 $x = 4$ 时，这个三角形的三边长分别为 $3$，$4$，$6$，$\because 6 ＜ 3 + 4$，$\therefore$ 此时能构成三角形，此时三角形的周长为 $3 + 4 + 6 = 13$。