《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

1. (青白江区一诊)在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的位置如图所示,点A的坐标为$(1,0)$,点D的坐标为$(0,2)$. 延长CB交x轴于点$A_{1}$,作正方形$A_{1}B_{1}C_{1}C$;延长$C_{1}B_{1}$交x轴于点$A_{2}$,作正方形$A_{2}B_{2}C_{2}C_{1}$……按这样的规律进行下去,正方形$A_{2025}B_{2025}C_{2025}C_{2024}$的面积为$5 × \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 4050 }$.

答案： $5 \times \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 4050 }$ 【解析】
∵点A的坐标为$(1,0)$，点D的坐标为$(0,2)$，$\therefore OA = 1$，$OD = 2$，$\therefore AD = AB = BC = \sqrt { 5 }$．
∵四边形ABCD，四边形$A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } C$是正方形，$\therefore \angle O A D + \angle A _ { 1 } A B = 90 ^ { \circ }$，$\angle A D O + \angle O A D = 90 ^ { \circ }$，$\therefore \angle A _ { 1 } A B = \angle A D O$．$\because \angle A O D = \angle A _ { 1 } B A = 90 ^ { \circ }$，$\therefore \triangle A O D \backsim \triangle A _ { 1 } B A$，$\therefore \frac { A O } { A _ { 1 } B } = \frac { O D } { A B }$，$\therefore \frac { 1 } { A _ { 1 } B } = \frac { 2 } { \sqrt { 5 } }$，$\therefore A _ { 1 } B = \frac { \sqrt { 5 } } { 2 }$，$\therefore A _ { 1 } B _ { 1 } = A _ { 1 } C = A _ { 1 } B + B C = \frac { 3 \sqrt { 5 } } { 2 }$．同理可得，$A _ { 2 } B _ { 2 } = \frac { 9 \sqrt { 5 } } { 4 } = \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } \times \sqrt { 5 }$，$A _ { 3 } B _ { 3 } = \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 3 } \times \sqrt { 5 }$，$\cdots$，$A _ { 2025 } B _ { 2025 } = \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2025 } \times \sqrt { 5 }$，$\therefore$正方形$A _ { 2025 } B _ { 2025 } C _ { 2025 } C _ { 2024 }$的面积为$\left[ \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2025 } \times \sqrt { 5 } \right] ^ { 2 } = 5 \times \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 4050 }$．

2. (棕北)如图,在$\triangle ABC$中,$AD_{1}= \frac {1}{4}AB,D_{1}D_{2}= \frac {1}{4}D_{1}B,D_{2}D_{3}= \frac {1}{4}D_{2}B,... $,照这样继续下去,$D_{2020}D_{2021}= \frac {1}{4}D_{2020}B$,且$D_{1}E_{1}// BC,D_{2}E_{2}// BC,D_{3}E_{3}// BC,... ,D_{2021}E_{2021}// BC$,则$\frac {D_{2021}E_{2021}}{BC}= $____$1 - \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { 2021 }$.

答案： $1 - \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { 2021 }$ 【解析】$\because D _ { 1 } E _ { 1 } // B C$，$\therefore \triangle A D _ { 1 } E _ { 1 } \backsim \triangle A B C$，$\therefore \frac { D _ { 1 } E _ { 1 } } { B C } = \frac { A D _ { 1 } } { A B } = \frac { 1 } { 4 }$，$\therefore D _ { 1 } E _ { 1 } = \frac { 1 } { 4 } B C$．$\because D _ { 1 } D _ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } D _ { 1 } B$，$\therefore A D _ { 2 } = \frac { 7 } { 16 } A B$，同理可得$D _ { 2 } E _ { 2 } = \frac { 7 } { 16 } B C = \left( 1 - \frac { 9 } { 16 } \right) B C = \left[ 1 - \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { 2 } \right] B C$，$D _ { 3 } E _ { 3 } = \frac { 37 } { 64 } B C = \left[ 1 - \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { 3 } \right] B C$，$\cdots$，$\therefore D _ { n } E _ { n } = \left[ 1 - \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { n } \right] B C$，$\therefore \frac { D _ { 2021 } E _ { 2021 } } { B C } = 1 - \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { 2021 }$．

3. (武侯区一诊)如图,$n+1$个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,设$\triangle B_{2}D_{1}C_{1}的面积为S_{1},\triangle B_{3}D_{2}C_{2}的面积为S_{2},... ,\triangle B_{n+1}D_{n}C_{n}的面积为S_{n}$,则$S_{n}= $____(用含n的式子表示).

答案：
$ \frac { \sqrt { 3 } n } { n + 1 }$ 【解析】易得点$B _ { 1 }$，$B _ { 2 }$，$B _ { 3 }$，$\cdots$，$B _ { n }$在一条直线上，如图，连接$B _ { 1 } B _ { 5 }$，则$S _ { \triangle A B _ { 1 } C _ { 1 } } = \frac { 1 } { 2 } \times 2 \times \sqrt { 3 } = \sqrt { 3 }$．$\because \angle A B _ { 1 } C _ { 1 } = \angle B _ { 1 } C _ { 1 } B _ { 2 } = 60 ^ { \circ }$，$\therefore A B _ { 1 } // B _ { 2 } C _ { 1 }$，$\therefore \triangle B _ { 1 } C _ { 1 } B _ { 2 }$是等边三角形，且边长为2，$\therefore \triangle B _ { 1 } B _ { 2 } D _ { 1 } \backsim \triangle C _ { 1 } A D _ { 1 }$，$\therefore B _ { 1 } D _ { 1 } : D _ { 1 } C _ { 1 } = 1 : 1$，$\therefore S _ { 1 } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$，同理$B _ { 2 } B _ { 3 } : A C _ { 2 } = 1 : 2$，$\therefore B _ { 2 } D _ { 2 } : D _ { 2 } C _ { 2 } = 1 : 2$，$\therefore S _ { 2 } = \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 }$，同理$B _ { n } B _ { n + 1 } : A C _ { n } = 1 : n$，$\therefore B _ { n } D _ { n } : D _ { n } C _ { n } = 1 : n$，$\therefore S _ { n } = \frac { \sqrt { 3 } n } { n + 1 }$．

4. (高新区一诊)如图,2002年在北京召开的世界数学大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形,中间的阴影部分是一个小正方形,此图在古代称为“赵爽弦图”. 若这四个全等的直角三角形有一个角为$30^{\circ }$,顶点$B_{1},B_{2},B_{3},...,B_{n}和C_{1},C_{2},C_{3},...,C_{n}分别在直线y= -\frac {1}{2}x+\sqrt {3}+1$和x轴上,则第n个阴影正方形的面积为____$\left( \frac { 4 } { 9 } \right) ^ { n }$.

答案： $ \left( \frac { 4 } { 9 } \right) ^ { n }$ 【解析】令$x = 0$，则$y = - \frac { 1 } { 2 } x + \sqrt { 3 } + 1 = \sqrt { 3 } + 1$，$\therefore O A = \sqrt { 3 } + 1$．令点$B _ { 1 } ( t , t )$，则$t = - \frac { 1 } { 2 } t + \sqrt { 3 } + 1$，解得$t = \frac { 2 ( \sqrt { 3 } + 1 ) } { 3 }$，$\therefore O A _ { 1 } = A _ { 1 } B _ { 1 } = B _ { 1 } C _ { 1 } = \frac { 2 ( \sqrt { 3 } + 1 ) } { 3 }$，$\therefore \frac { A A _ { 1 } } { A _ { 1 } B _ { 1 } } = \frac { O A - O A _ { 1 } } { A _ { 1 } B _ { 1 } } = \frac { \sqrt { 3 } + 1 - \frac { 2 ( \sqrt { 3 } + 1 ) } { 3 } } { \frac { 2 ( \sqrt { 3 } + 1 ) } { 3 } } = \frac { 1 } { 2 }$．易证$\triangle A A _ { 1 } B _ { 1 } \backsim \triangle B _ { 1 } A _ { 2 } B _ { 2 } \backsim \triangle B _ { 2 } A _ { 3 } B _ { 3 } \backsim \triangle B _ { 3 } A _ { 4 } B _ { 4 } \backsim \triangle B _ { 4 } A _ { 5 } B _ { 5 } \backsim \cdots \backsim \triangle B _ { n - 1 } A _ { n } B _ { n }$，$\therefore \frac { A A _ { 1 } } { A _ { 1 } B _ { 1 } } = \frac { B _ { 1 } A _ { 2 } } { A _ { 2 } B _ { 2 } } = \frac { B _ { 2 } A _ { 3 } } { A _ { 3 } B _ { 3 } } = \frac { B _ { 3 } A _ { 4 } } { A _ { 4 } B _ { 4 } } = \frac { B _ { 4 } A _ { 5 } } { A _ { 5 } B _ { 5 } } = \cdots = \frac { B _ { n - 1 } A _ { n } } { A _ { n } B _ { n } } = \frac { 1 } { 2 }$，$\therefore \frac { A _ { 1 } B _ { 1 } - A _ { 2 } B _ { 2 } } { A _ { 2 } B _ { 2 } } = \frac { A _ { 2 } B _ { 2 } - A _ { 3 } B _ { 3 } } { A _ { 3 } B _ { 3 } } = \frac { A _ { 3 } B _ { 3 } - A _ { 4 } B _ { 4 } } { A _ { 4 } B _ { 4 } } = \frac { A _ { 4 } B _ { 4 } - A _ { 5 } B _ { 5 } } { A _ { 5 } B _ { 5 } } = \cdots = \frac { A _ { n - 1 } B _ { n - 1 } - A _ { n } B _ { n } } { A _ { n } B _ { n } } = \frac { 1 } { 2 }$，$\therefore A _ { 1 } B _ { 1 } = \frac { 3 } { 2 } A _ { 2 } B _ { 2 }$，$A _ { 2 } B _ { 2 } = \frac { 3 } { 2 } A _ { 3 } B _ { 3 }$，$A _ { 3 } B _ { 3 } = \frac { 3 } { 2 } A _ { 4 } B _ { 4 }$，$A _ { 4 } B _ { 4 } = \frac { 3 } { 2 } A _ { 5 } B _ { 5 }$，$\cdots$，$A _ { n - 1 } B _ { n - 1 } = \frac { 3 } { 2 } A _ { n } B _ { n }$，$\therefore A _ { 1 } B _ { 1 } = \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { n - 1 } A _ { n } B _ { n }$，$\therefore A _ { n } B _ { n } = \left( \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { n - 1 } A _ { 1 } B _ { 1 }$，$\therefore M _ { n } N _ { n } = A _ { n } N _ { n } - A _ { n } M _ { n } = A _ { n } N _ { n } - B _ { n } N _ { n } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } A _ { n } B _ { n } - \frac { 1 } { 2 } A _ { n } B _ { n } = \frac { \sqrt { 3 } - 1 } { 2 } A _ { n } B _ { n } = \frac { \sqrt { 3 } - 1 } { 2 } \cdot \left( \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { n - 1 } \cdot \frac { 2 ( \sqrt { 3 } + 1 ) } { 3 } = \left( \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { n }$，$\therefore$第$n$个阴影正方形$M _ { n } N _ { n } P _ { n } Q _ { n }$的面积为$\left[ \left( \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { n } \right] ^ { 2 } = \left( \frac { 4 } { 9 } \right) ^ { n }$．