《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

7. (金牛区一诊)如图,一次函数$y = 2x - 3的图象与反比例函数y= \frac{k}{x}的图象相交于A( - 1,n)$,$B$两点。
(1)求反比例函数的解析式与点$B$的坐标；
(2)连接$AO$,$BO$,求$\triangle AOB$的面积；
(3)$D$是反比例函数图象上一点,当$\angle BAD = 90^{\circ}$时,求点$D$的坐标。

答案：
解:
(1)$\because$点$A(-1,n)$在一次函数$y = 2x - 3$的图象上，$\therefore n = -5$，$\therefore A(-1,-5)$。
$\because$点$A(-1,-5)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，$\therefore k = -1 \times (-5) = 5$，$\therefore$反比例函数的解析式为$y = \frac{5}{x}$。
联立方程组$\begin{cases}y = \frac{5}{x},\\y = 2x - 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1 = -1,\\y_1 = -5\end{cases}$或$\begin{cases}x_2 = \frac{5}{2},\\y_2 = 2,\end{cases}$$\therefore B(\frac{5}{2},2)$。
(2)设$y = 2x - 3$与$y$轴的交点为$E$，则点$E(0,-3)$，$\therefore OE = 3$，
$\therefore S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOE} + S_{\triangle BOE} = \frac{1}{2} \times 3 \times 1 + \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{5}{2} = \frac{21}{4}$。
(3)设点$D(a,\frac{5}{a})$。如图，分别过点$D$，$B$作$y$轴的平行线$DM$，$BN$，过点$A$作$MN \perp DM$于点$M$，交$BN$于点$N$，则$MN \perp BN$，$\therefore \angle M = \angle N = 90^{\circ}$，$\therefore \angle DAM + \angle ADM = 90^{\circ}$。
$\because \angle BAD = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BAN + \angle DAM = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAN = \angle ADM$，$\therefore \triangle BAN \sim \triangle ADM$，
$\therefore \frac{AN}{BN} = \frac{DM}{AM}$，即$\frac{\frac{5}{2} + 1}{2 - (-5)} = \frac{\frac{5}{a} - (-5)}{-1 - a}$，解得$a_1 = -10$，$a_2 = -1$(不符合题意，舍去)，
$\therefore D(-10,-\frac{1}{2})$。