《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

7. (锦江区一诊)如图,在菱形 $ABCD$ 中,$\angle ABC = 60^{\circ}$,连接 $BD$,$P$ 是线段 $BD$ 上一点,过点 $P$ 作 $PE\perp AB$,$PF\perp AD$,垂足分别为 $E$,$F$. 若 $AB = 4$,则 $PE + PF$ 的值为______.

答案：
$2 \sqrt { 3 } $ [解析]如图，连接 $AC $ 交 $BD $ 于点 $O $，连接 $AP $。$\because $ 四边形 $ABCD $ 是菱形，$\therefore AC \perp BD $，$AO = OC $，$BO = DO $，$\angle ABO = \frac { 1 } { 2 } \angle ABC = 30 ^ { \circ } $，$\therefore \angle AOB = 90 ^ { \circ } $，$\therefore AO = \frac { 1 } { 2 } AB = 2 $，$OB = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } AB = 2 \sqrt { 3 } $，$\therefore BD = 2 OB = 4 \sqrt { 3 } $。$\because S _ { \triangle ABD } = S _ { \triangle ABP } + S _ { \triangle ADP } $，$\therefore \frac { 1 } { 2 } \times 4 \sqrt { 3 } \times 2 = \frac { 1 } { 2 } \times 4 \times PE + \frac { 1 } { 2 } \times 4 \times PF $，$\therefore PE + PF = 2 \sqrt { 3 } $。

8. (青羊区一诊)已知四边形 $ABCD$ 是菱形,$AB = 4$,$\angle ABC = 60^{\circ}$,$\angle EAF$ 的两边分别与射线 $CB$,$DC$ 相交于点 $E$,$F$,且 $\angle EAF = 60^{\circ}$. 如图,当点 $E$ 在线段 $CB$ 的延长线上,且 $\angle EAB = 15^{\circ}$ 时,点 $F$ 到 $BC$ 的距离为$3 - \sqrt { 3 }$.

答案： $3 - \sqrt { 3 } $

9. (温江区一诊)如图,在菱形 $ABCD$ 中,$AB = 2$,$\angle B = 30^{\circ}$,$P$ 为 $AD$ 边上一动点,将 $\triangle PCD$ 沿 $CP$ 折叠为 $\triangle PCD'$,$E$ 为 $AB$ 边上一点,$BE = CE$,则 $D'E$ 的长度的最小值为______.

答案：
$2 - \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } $ [解析]如图，连接 $D ^ { \prime } E $，过点 $E $ 作 $EF \perp BC $ 于点 $F $，则 $ \angle BFE = 90 ^ { \circ } $。$\because $ 四边形 $ABCD $ 是菱形，$AB = 2 $，$\therefore BC = CD = AB = 2 $。$\because BE = CE $，$EF \perp BC $，$\therefore BF = CF = \frac { 1 } { 2 } BC = 1 $。$\because \angle B = 30 ^ { \circ } $，$\angle BFE = 90 ^ { \circ } $，$\therefore BE = 2EF $，$\therefore BF = \sqrt { BE ^ { 2 } - EF ^ { 2 } } = \sqrt { ( 2EF ) ^ { 2 } - EF ^ { 2 } } = \sqrt { 3 } EF = 1 $，$\therefore EF = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } $，$\therefore CE = BE = 2EF = 2 \times \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } = \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } $。由折叠得 $CD ^ { \prime } = CD = 2 $。$\because D ^ { \prime } E + CE \geq CD ^ { \prime } $，$\therefore D ^ { \prime } E + \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } \geq 2 $，$\therefore D ^ { \prime } E \geq 2 - \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } $，$\therefore D ^ { \prime } E $ 的长度的最小值为 $2 - \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } $。

10. (嘉祥)如图,四边形 $ABCD$ 为菱形,$\angle ABC = 80^{\circ}$,延长 $BC$ 到点 $E$,在 $\angle DCE$ 内作射线 $CM$,使得 $\angle ECM = 30^{\circ}$,过点 $D$ 作 $DF\perp CM$,垂足为 $F$. 若 $DF = \sqrt{3}$,则对角线 $BD$ 的长为______.

答案：
$2 \sqrt { 3 } $ [解析]如图，连接 $AC $ 交 $BD $ 于点 $H $。由菱形的性质，得 $BH = DH $，$\angle ADC = \angle ABC = 80 ^ { \circ } $，$\angle DCE = 80 ^ { \circ } $，$\angle DHC = 90 ^ { \circ } $。又 $ \because \angle ECM = 30 ^ { \circ } $，$\therefore \angle DCF = 50 ^ { \circ } $。$\because DF \perp CM $，$\therefore \angle CFD = 90 ^ { \circ } $，$\therefore \angle CDF = 40 ^ { \circ } $。又 $ \because $ 四边形 $ABCD $ 是菱形，$\therefore DB $ 平分 $ \angle ADC $，$\therefore \angle HDC = 40 ^ { \circ } $。在 $ \triangle CDH $ 和 $ \triangle CDF $ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { \angle CHD = \angle CFD }, \\ { \angle HDC = \angle FDC }, \\ { DC = DC }, \end{array} \right. $$\therefore \triangle CDH \cong \triangle CDF ( AAS ) $，$\therefore DH = DF = \sqrt { 3 } $，$\therefore DB = 2DH = 2 \sqrt { 3 } $。

11. (武侯区一诊)如图,在菱形 $ABCD$ 中,$E$,$F$ 分别是 $AB$ 和 $BC$ 上的点,且 $BE = BF$.
(1) 求证:$\triangle ADE\cong\triangle CDF$;
(2) 若 $\angle A = 40^{\circ}$,$\angle DEF = 65^{\circ}$,求 $\angle DFC$ 的度数.

答案：
(1) 证明: $ \because $ 四边形 $ABCD $ 是菱形，$\therefore \angle A = \angle C $，$AB = CB = AD = DC $。又 $ \because BE = BF $，$\therefore AE = CF $，$\therefore \triangle ADE \cong \triangle CDF ( SAS ) $。
(2) 解: 由
(1) 可知 $ \triangle ADE \cong \triangle CDF $，$\therefore \angle DFC = \angle DEA $，$DE = DF $。又 $ \because BE = BF $，$\therefore BD $ 垂直平分 $EF $，$\therefore \angle EDB = 90 ^ { \circ } - \angle DEF = 25 ^ { \circ } $。又 $ \because $ 四边形 $ABCD $ 是菱形，$\therefore AB = AD $。又 $ \because \angle A = 40 ^ { \circ } $，$\therefore \angle ADB = \angle ABD = 70 ^ { \circ } $，$\therefore \angle ADE = \angle ADB - \angle EDB = 70 ^ { \circ } - 25 ^ { \circ } = 45 ^ { \circ } $，$\therefore \angle DFC = \angle DEA = 180 ^ { \circ } - \angle A - \angle ADE = 180 ^ { \circ } - 40 ^ { \circ } - 45 ^ { \circ } = 95 ^ { \circ } $。

12. (嘉祥)如图,在菱形 $ABCD$ 中,$\angle B = 60^{\circ}$,将一个三角板的 $60^{\circ}$ 角的顶点与点 $C$ 重合,且 $60^{\circ}$ 角的两条边分别与菱形 $ABCD$ 的两条边 $AB$,$AD$ 交于点 $E$,$F$.
(1) 求证:$BE = AF$;
(2) 若 $AB = 2$,求四边形 $AECF$ 的面积.

答案：

(1) 证明: 如图，连接 $AC $。$\because $ 四边形 $ABCD $ 是菱形，$\therefore AD // BC $，$AB = BC $。$\because \angle B = 60 ^ { \circ } $，$\therefore \triangle ABC $ 是等边三角形，$\therefore BC = AC $，$\angle BAC = \angle ACB = \angle CAD = 60 ^ { \circ } $。$\because \angle ECF = 60 ^ { \circ } $，$\therefore \angle BCE = \angle ACF $。在 $ \triangle BCE $ 和 $ \triangle ACF $ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { \angle B = \angle CAF }, \\ { BC = AC }, \\ { \angle BCE = \angle ACF }, \end{array} \right. $$\therefore \triangle BCE \cong \triangle ACF ( ASA ) $，$\therefore BE = AF $。
(2) 解: 如图，过点 $A $ 作 $AH \perp BC $ 于点 $H $，则 $ \angle AHB = 90 ^ { \circ } $。$\because \angle B = 60 ^ { \circ } $，$\therefore \angle BAH = 30 ^ { \circ } $。在 $ \mathrm {Rt} \triangle ABH $ 中，$BH = \frac { 1 } { 2 } AB = 1 $，$\therefore AH = \sqrt { AB ^ { 2 } - BH ^ { 2 } } = \sqrt { 2 ^ { 2 } - 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 3 } $。$\because $ 四边形 $ABCD $ 是菱形，$\therefore BC = AB = 2 $。$\because \triangle BCE \cong \triangle ACF $，$\therefore S _ { \text { 四边形 } AECF } = S _ { \triangle ABC } = \frac { 1 } { 2 } BC \cdot AH = \frac { 1 } { 2 } \times 2 \times \sqrt { 3 } = \sqrt { 3 } $。