《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

6. (金牛区一诊)如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y= ax+b(a≠0)$的图象与反比例函数$y= \frac {k}{x}(k≠0)$的图象交于 A,C 两点,与 x 轴、y 轴分别交于点 B,D,已知点 A 的坐标为$(-2,4)$,点 C 的坐标为$(8,m).$
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;一次函数的表达式为$y=$$-\frac{1}{2}x+3$，反比例函数的表达式为$y=$$-\frac{8}{x}$.
(2)若点 M 在 x 轴上,以 M,A,B 为顶点的三角形与$\triangle BOD$相似时,求点 M 的坐标;点 M 的坐标为$(-4,0)$或$(-2,0)$.
(3)P 是直线 AB 下方反比例函数$y= \frac {k}{x}$图象上一点,当$\triangle PAB$的面积为 24 时,求点 P 的坐标.点 P 的坐标为$(2,-4)$或$(-8,1)$.

答案： 解:
(1)把点$A(-2,4)$代入$y=\frac {k}{x}(k≠0)$,得$k=-2×4=-8$,$\therefore$反比例函数的表达式为$y=-\frac {8}{x}$.把点$C(8,m)$代入$y=-\frac {8}{x}$,得$m=-\frac {8}{8}=-1$,$\therefore$点 C 的坐标为$(8,-1)$.把点$A(-2,4)$和点$C(8,-1)$代入$y=ax+b$,得$\left\{\begin{array}{l} -2a+b=4,\\ 8a+b=-1,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=-\frac {1}{2},\\ b=3,\end{array}\right. $$\therefore$一次函数的表达式为$y=-\frac {1}{2}x+3$.
(2)设点 M 的坐标为$(t,0)$.在$y=-\frac {1}{2}x+3$中,令$x=0$,则$y=3$,令$y=0$,则$x=6$,$\therefore D(0,3)$,$B(6,0)$,$\therefore OD=3$,$OB=6$.$\because$以 M,A,B 为顶点的三角形与$\triangle BOD$相似,$\therefore$分两种情况:当$∠MAB=∠DOB=90^{\circ }$时,$\triangle ABM\backsim \triangle OBD$,$\therefore \frac {AM}{OD}=\frac {AB}{OB}$.$\because AM=\sqrt {(-2-t)^{2}+4^{2}}$,$AB=\sqrt {(-2-6)^{2}+4^{2}}=4\sqrt {5}$,$\therefore \frac {\sqrt {(-2-t)^{2}+4^{2}}}{3}=\frac {4\sqrt {5}}{6}$,解得$t=-4$,$t=0$(不合题意,舍去),$\therefore M(-4,0)$.当$∠AMB=∠DOB=90^{\circ }$时,$\therefore AM// OD$,$\therefore \triangle AMB\backsim \triangle DOB$,$\therefore AM⊥x$轴,$\therefore OM=2$,即$t=-2$,$\therefore M(-2,0)$.综上所述,点 M 的坐标为$(-4,0)$或$(-2,0)$.
(3)设点 P 的坐标为$(n,-\frac {8}{n})$.$\because A(-2,4)$,$B(6,0)$,当点 P 在第四象限时,$S_{\triangle PAB}=[6-(-2)]\cdot (4+\frac {8}{n})-\frac {1}{2}(4+\frac {8}{n})\cdot (n+2)-\frac {1}{2}\cdot \frac {8}{n}\cdot (6-n)-\frac {1}{2}[6-(-2)]×4=24$,解得$n=2$或$n=-8$(不合题意,舍去),$\therefore P(2,-4)$.当点 P 在第二象限时,$S_{\triangle PAB}=4(6-n)-\frac {1}{2}\cdot (-\frac {8}{n})(6-n)-\frac {1}{2}×8×4-\frac {1}{2}(-2-n)\cdot (4+\frac {8}{n})=24$,解得$n=-8$或$n=2$(不合题意,舍去),$\therefore P(-8,1)$.综上所述,点 P 的坐标为$(2,-4)$或$(-8,1)$.