《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

12. (七中育才) 如图, 在矩形 $ABCD$ 中, 点 $E$ 在 $BC$ 边上, $∠AEF = 90^{\circ}$.
(1) 如图 1, 已知点 $F$ 在 $CD$ 边上, $AD = AE = 5, AB = 4$, 求 $DF$ 的长;
(2) 如图 2, 已知 $AE = EF, G$ 为 $AF$ 的中点, 试探究线段 $AB, BE, BG$ 之间的数量关系;
(3) 如图 3, 点 $E$ 在矩形 $ABCD$ 的边 $BC$ 的延长线上, $AE$ 与 $BG$ 相交于点 $O$, 其他条件与 (2) 保持不变, $AD = 5, AB = 4, CE = 1$, 求 $△AOG$ 的面积.

答案：
解:
(1)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore \angle C=\angle D=90^{\circ}$,$CD=AB=4$. 又 $\because AD=AE=5$,$\therefore BE=\sqrt{AE^{2}-AB^{2}}=3$,$\therefore EC=2$. 在 $Rt\triangle AEF$ 和 $Rt\triangle ADF$ 中,$\begin{cases} AF=AF, \\ AE=AD, \end{cases}$ $\therefore Rt\triangle AEF\cong Rt\triangle ADF(HL)$,$\therefore EF=DF$. 设 $DF=EF=x$,则 $CF=4-x$,$\therefore$ 在 $Rt\triangle CEF$ 中,由勾股定理,得 $2^{2}+(4-x)^{2}=x^{2}$,解得 $x=\frac{5}{2}$,$\therefore DF$ 的长为 $\frac{5}{2}$.
(2)$AB+BE=\sqrt{2}BG$. 理由如下:如图 1 所示,过点 $F$ 作 $FM\perp BC$ 交 $BC$ 的延长线于点 $M$,过点 $G$ 作 $GN\perp BC$ 于点 $N$,连接 $GM$,则 $\angle ABE=\angle EMF=90^{\circ}$,$\therefore \angle BAE+\angle AEB=90^{\circ}$. 又 $\because \angle AEF=90^{\circ}$,$\therefore \angle AEB+\angle MEF=90^{\circ}$,$\therefore \angle BAE=\angle MEF$. 又 $\because AE=EF$,$\therefore \triangle ABE\cong \triangle EMF(AAS)$,$\therefore AB=EM$,$BE=FM$. $\because AB\perp BC$,$FM\perp BC$,$GN\perp BC$,$\therefore AB// GN// FM$. 又 $\because G$ 为 $AF$ 的中点,$\therefore N$ 为 $BM$ 的中点,$\therefore GN=\frac{1}{2}(AB+FM)=\frac{1}{2}(EM+BE)=\frac{1}{2}BM$,$\therefore GB=GM$,$\angle BGM=90^{\circ}$,$\therefore BM=\sqrt{2}BG$,$\therefore AB+BE=EM+BE=BM=\sqrt{2}BG$.

(3)如图 2 所示,连接 $EG$,过点 $G$ 作 $BG$ 的垂线交 $BE$ 的延长线于点 $M$. $\because \triangle AEF$ 是等腰直角三角形,$G$ 是 $AF$ 的中点,$\angle GAE=45^{\circ}$,$EG\perp AF$,$\therefore \triangle AGE$ 是等腰直角三角形,$\angle AGE=90^{\circ}$,$AG=GE$,$\therefore \angle ABE+\angle AGE=180^{\circ}$,$\therefore \angle BAG=\angle GEM$. $\because \angle AGE=\angle BGM=90^{\circ}$,$\therefore \angle AGB=\angle EGM$,$\therefore \triangle AGB\cong \triangle EGM(ASA)$,$\therefore GB=GM$,$\therefore \angle GBM=45^{\circ}$,$\therefore BO$ 平分 $\angle ABE$,$\therefore \frac{AO}{EO}=\frac{AB}{BE}=\frac{2}{3}$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore BC=AD=5$,$\angle ABC=90^{\circ}$,$\therefore BE=BC+CE=6$,$\therefore AE=\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{4^{2}+6^{2}}=2\sqrt{13}$. $\because AE=\sqrt{2}AG$,$\therefore AG=\sqrt{26}$,$\therefore S_{\triangle AGE}=13$,$\therefore S_{\triangle AOG}=\frac{2}{5}S_{\triangle AGE}=\frac{26}{5}$.