《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

1. (青羊区一诊)顺次连接一个四边形四边的中点得到的四边形是矩形,则原四边形一定是 (C)
A. 矩形
B. 平行四边形
C. 对角线互相垂直的四边形
D. 任意四边形

答案： C

2. (天府新区一诊)如图,在平行四边形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$, $BD$ 相交于点 $O$. 下列条件不能判定平行四边形 $ABCD$ 为矩形的是 (C)

A. $\angle ABC = 90^{\circ}$
B. $AC = BD$
C. $AD = AB$
D. $\angle BAD = \angle ADC$

答案： C

3. (高新区一诊)已知:如图,在$□ ABCD$中,$BA = BD$, $M$, $N$ 分别是 $AD$ 和 $BC$ 的中点. 求证:四边形 $BNDM$ 是矩形.

答案： 证明:
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD//BC,AD=BC,AB=DC.
又
∵BA=BD,M,N 分别是 AD 和 BC 的中点,
∴BM⊥AD,DM=$\frac{1}{2}$AD,BN=$\frac{1}{2}$BC,
∴DM=BN.
又
∵DM//BN,
∴四边形 B N D M 是平行四边形.
又
∵BM⊥AD,
∴∠BMD=90°,
∴四边形 B N D M 是矩形.

4. (嘉祥)如图,在平行四边形 $ABCD$ 中,$P$ 是 $AB$ 边上的一点(不与点 $A$, $B$ 重合),$CP = CD$,过点 $P$ 作 $PQ \perp CP$,交 $AD$ 于点 $Q$,连接 $CQ$.
(1)若 $CQ$ 平分 $\angle DCP$,求证:四边形 $ABCD$ 是矩形;
证明:∵PQ⊥CP,∴∠CPQ=90°.
∵CQ 平分∠DCP,∴∠DCQ=∠PCQ.
又∵CP=CD,CQ=CQ,∴△DCQ≌△PCQ(SAS),∴∠D=∠CPQ=90°,
∴平行四边形 ABCD 是矩形.
(2)在(1)的条件下,当 $AP = 2$, $CB = 4$ 时,求 $CD$ 的长.
解:∵CP=CD,∴设 CP=CD=x,则 PB=x-2.
在 Rt△BCP 中,BC²+BP²=CP²,
∴4²+(x-2)²=x²,解得 x=5,∴CD=5.

答案：
(1)证明:
∵PQ⊥CP,
∴∠CPQ=90°.
∵CQ 平分∠DCP,
∴∠DCQ=∠PCQ.
又
∵CP=CD,CQ=CQ,
∴△DCQ≌△PCQ(SAS),
∴∠D=∠CPQ=90°,
∴平行四边形 ABCD 是矩形.
(2)解:
∵CP=CD,
∴设 CP=CD=x,则 PB=x-2.
在 Rt△BCP 中,BC²+BP²=CP²,
∴4²+(x-2)²=x²,解得 x=5,
∴CD=5.