《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

3. (成华区期末)如图,在$△ABC$中,D 为 BC 上一点,$BC= \sqrt {3}AB= 3BD$.若$AD= \sqrt {3}$,则$AC= $ (B)

A. $\sqrt {3}$
B. 3
C. $2\sqrt {3}$
D. $\sqrt {6}$

答案： B

4. (青羊区一诊)如图,已知$△ABC,△DCE,△FEG,△HGI$是4个全等的等腰三角形,底边 BC,CE,EG,GI 在同一直线上,且$AB= 2,BC= 1$,连接 AI 交 FG 于点 Q,则$QI= $$\frac{4}{3}$.

答案： $\frac{4}{3}$

5. (双流区二诊)如图,在四边形 ABCD 中,BD 为对角线,E 为边 AD 上一点,连接 CE 交 BD 于点 O.若$∠A= ∠BCD= ∠BOC= 120^{\circ },AD= \frac {69}{2},AB= 12,\frac {BC}{CD}= \frac {4}{3}$,则$\frac {BD}{CE}$的值为____$\frac{23}{12}$.

答案： $\frac{23}{12}$

6. (青羊区一诊)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,边$AB= 10$,对角线$BD= 16$.
(1)求菱形 ABCD 的面积;96
(2)过点 O 作$OE⊥AB$于点 E,交 DA 的延长线于点 F,求证:$OF^{2}= AF\cdot DF$.
证明:∵OE⊥AB，∴∠AEO = ∠AOB = 90°，∴∠FOA = ∠ABD = 90° - ∠OAB.
∵AB = AD，∴∠FDO = ∠ABD，
∴∠FOA = ∠FDO.
∵∠F = ∠F，∴△FOA∽△FDO，∴$\frac{OF}{DF}$ = $\frac{AF}{OF}$，∴OF² = AF·DF.

答案：
(1)解:
∵四边形ABCD是菱形，BD = 16，
∴AC⊥BD，OB = OD = $\frac{1}{2}$BD = 8，
∴∠AOB = 90°，
∴OC = OA = $\sqrt{AB^{2} - OB^{2}}$ = $\sqrt{10^{2} - 8^{2}}$ = 6，
∴AC = 2OA = 12，
∴S菱形ABCD = $\frac{1}{2}$AC·BD = $\frac{1}{2}$×12×16 = 96.
(2)证明:
∵OE⊥AB，
∴∠AEO = ∠AOB = 90°，
∴∠FOA = ∠ABD = 90° - ∠OAB.
∵AB = AD，
∴∠FDO = ∠ABD，
∴∠FOA = ∠FDO.
∵∠F = ∠F，
∴△FOA∽△FDO，
∴$\frac{OF}{DF}$ = $\frac{AF}{OF}$，
∴OF² = AF·DF.

7. (锦江区一诊)如图,AC 是$□ ABCD$的对角线,在 AD 边上取一点 F,连接 BF 交 AC 于点 E,延长 BF 交 CD 的延长线于点 G.
(1)若$∠ABF= ∠ACF$,求证:$CE^{2}= EF\cdot EG;$
(2)若$DG= DC,BE= 6$,求 EF 的长.

(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CG，∴∠ABF = ∠G.
又∵∠ABF = ∠ACF，∴∠ECF = ∠G.
又∵∠CEF = ∠CEG，∴△ECF∽△EGC，
∴$\frac{CE}{GE}$ = $\frac{FE}{CE}$，即CE² = EF·EG.
(2)解:在▱ABCD中，AB = CD.
又∵DG = DC，∴AB = CD = DG，
∴AB:CG = 1:2.
又∵AB//CG，△ABE∽△CGE，
∴$\frac{AB}{CG}$ = $\frac{BE}{GE}$ = $\frac{1}{2}$，即$\frac{6}{GE}$ = $\frac{1}{2}$，
∴EG = 12，∴BG = 18.
又∵AB//DG，∴△ABF∽△DGF，
∴$\frac{BF}{GF}$ = $\frac{AB}{DG}$ = 1，∴BF = $\frac{1}{2}$BG = 9，
∴EF = BF - BE = 9 - 6 = 3.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CG，
∴∠ABF = ∠G.
又
∵∠ABF = ∠ACF，
∴∠ECF = ∠G.
又
∵∠CEF = ∠CEG，
∴△ECF∽△EGC，
∴$\frac{CE}{GE}$ = $\frac{FE}{CE}$，即CE² = EF·EG.
(2)解:在▱ABCD中，AB = CD.
又
∵DG = DC，
∴AB = CD = DG，
∴AB:CG = 1:2.
又
∵AB//CG，△ABE∽△CGE，
∴$\frac{AB}{CG}$ = $\frac{BE}{GE}$ = $\frac{1}{2}$，即$\frac{6}{GE}$ = $\frac{1}{2}$，
∴EG = 12，
∴BG = 18.
又
∵AB//DG，
∴△ABF∽△DGF，
∴$\frac{BF}{GF}$ = $\frac{AB}{DG}$ = 1，
∴BF = $\frac{1}{2}$BG = 9，
∴EF = BF - BE = 9 - 6 = 3.