《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

1.(武侯区一诊)2024年成都世界园艺博览会于4月26日至10月28日举行,在盛会期间,某销售商进行市场调查发现:某类盆栽每盆进货价为60元,当销售价为每盆90元时,平均每天能售出24盆;而当销售价每盆每降低1元时,平均每天就能多售出2盆.现设销售价降低x元,解答下列问题.
(1)填空:现在平均每天可售出24+2x盆,每盆盈利30-x元.(用含x的代数式表示)
(2)试问:当x为何值时,平均每天盈利784元?
解:由题意,得(24+2x)(30-x)=784,整理得x²-18x+32=0,解得x₁=2,x₂=16.
故当x为2或16时,平均每天盈利784元.
(3)如果该销售商打算平均每天盈利900元,那么他的这种想法能实现吗?请说明理由.
解:不能实现. 理由如下:由题意,得(24+2x)(30-x)=900,整理得x²-18x+90=0.
∵Δ=(-18)²-4×1×90=-36＜0,∴原方程无实数根,∴该销售商的这种想法不能实现.

答案： 解:
(1)$(24+2x)(30-x)$
(2)由题意,得$(24+2x)(30-x)=784$,整理得$x^{2}-18x+32=0$,解得$x_{1}=2,x_{2}=16$.
故当$x$为$2$或$16$时,平均每天盈利$784$元.
(3)不能实现. 理由如下:由题意,得$(24+2x)(30-x)=900$,整理得$x^{2}-18x+90=0$.
$\because \Delta =(-18)^{2}-4×1×90=-36＜0$,
∴原方程无实数根,
∴该销售商的这种想法不能实现.

2.(天府新区一诊)2020年1月,四川天府新区推出了农产品区域公用品牌“鹿溪荟”,旗下产品包括草莓、枇杷、葡萄等.其中,“天府鹿溪草莓”是该品牌的主打产品之一,具有品质优良、口感鲜美等特点.某种植基地2022年开始种植“天府鹿溪草莓”64亩,到2024年增长到100亩.
(1)求2023年、2024年这两年的平均增长率.
(2)市场调查发现,当草莓的售价为20元/千克时,每天能售出240千克,每千克售价每降低2元,每天可多售出60千克.已知该种植基地草莓的平均成本价是8元/千克,为了宣传推广,基地决定降价促销,同时减少库存,若要使销售草莓每日获利2520元,则每千克售价应降低多少元?

答案： 解:
(1)设$2023$年、$2024$年这两年的平均增长率为$x$. 根据题意,得$64(1+x)^{2}=100$,
解得$x_{1}=0.25=25\%,x_{2}=-2.25$(不符合题意,舍去).
故$2023$年、$2024$年这两年的平均增长率为$25\%$.
(2)设每千克售价应降低$y$元,则每千克的销售利润为$(20-y-8)$元,每天可售出$(240+\frac {y}{2}×60)$千克. 根据题意,得$(20-y-8)(240+\frac {y}{2}×60)=2520$,整理得$y^{2}-4y-12=0$,
解得$y_{1}=6,y_{2}=-2$(不符合题意,舍去).
故每千克售价应降低$6$元.