《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

4. (锦江区一诊)如图,一次函数$y= x+m的图象与反比例函数y= -\frac {3}{2x}$的图象交于A,B两点,点A的坐标为$(1,n)$,连接OB,过点B作$BC⊥x$轴,垂足为C。
(1)求$\triangle BOC$的面积以及m的值；$\triangle BOC$的面积为$\frac{3}{4}$，m的值为$-\frac{5}{2}$
(2)根据图象直接写出：当x取何值时,反比例函数的值大于一次函数的值？当$x ＜ 0$或$1 ＜ x ＜ \frac{3}{2}$时，反比例函数的值大于一次函数的值。

答案： 解:
(1)$ S_{\triangle OBC} = \frac{1}{2} |k| = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4} $.
把点 $ A(1, n) $ 的坐标代入 $ y = -\frac{3}{2x} $, 得 $ n = -\frac{3}{2} $,
$ \therefore A(1, -\frac{3}{2}) $.
把点 $ A $ 的坐标 $ (1, -\frac{3}{2}) $ 代入 $ y = x + m $, 得 $ 1 + m = -\frac{3}{2} $, 解得 $ m = -\frac{5}{2} $.
(2) 由
(1)可得一次函数的表达式为 $ y = x - \frac{5}{2} $.
联立方程组 $ \begin{cases} y = x - \frac{5}{2}, \\ y = -\frac{3}{2x}, \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} x = 1, \\ y = -\frac{3}{2} \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x = \frac{3}{2}, \\ y = -1, \end{cases} $ $ \therefore B(\frac{3}{2}, -1) $,
$ \therefore $ 当 $ x ＜ 0 $ 或 $ 1 ＜ x ＜ \frac{3}{2} $ 时, 反比例函数的值大于一次函数的值.

5. (天府新区期末)如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y_{1}= kx+b的图象与反比例函数y_{2}= \frac {m}{x}(m＞0)的图象交于点A(2,5)$,$B(-5,n)$。
(1)分别求出两个函数的解析式；
一次函数的解析式为$y_1 = x + 3$，反比例函数的解析式为$y_2 = \frac{10}{x}$。
(2)求$\triangle OAB$的面积；
$\triangle OAB$的面积为$\frac{21}{2}$。
(3)根据图象,直接写出关于x的不等式$kx+b≤\frac {m}{x}$的解集。
关于x的不等式$kx+b≤\frac {m}{x}$的解集是$x \leq -5$ 或 $0 ＜ x \leq 2$。

答案： 解:
(1) 把点 $ A(2, 5) $ 代入 $ y_2 = \frac{m}{x} (m ＞ 0) $, 得 $ 5 = \frac{m}{2} $, 解得 $ m = 10 $, $ \therefore $ 反比例函数的解析式为 $ y_2 = \frac{10}{x} $.
把点 $ B(-5, n) $ 代入 $ y_2 = \frac{10}{x} $, 得 $ n = \frac{10}{-5} = -2 $,
$ \therefore B(-5, -2) $.
$ \because $ 一次函数 $ y_1 = kx + b $ 的图象过点 $ A(2, 5) $, $ B(-5, -2) $, $ \therefore \begin{cases} 2k + b = 5, \\ -5k + b = -2, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = 1, \\ b = 3, \end{cases} $
$ \therefore $ 一次函数的解析式为 $ y_1 = x + 3 $.
(2) 设直线 $ AB $ 交 $ y $ 轴于点 $ C $, 在 $ y = x + 3 $ 中, 令 $ x = 0 $, 得 $ y = 3 $, $ \therefore C(0, 3) $,
$ \therefore S_{\triangle OAB} = S_{\triangle BOC} + S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} \times 3 \times (2 + 5) = \frac{21}{2} $.
(3) 由图象可知关于 $ x $ 的不等式 $ kx + b \leq \frac{m}{x} $ 的解集是 $ x \leq -5 $ 或 $ 0 ＜ x \leq 2 $.