《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

13. (实外)如图,在菱形 $ABCD$ 中,$\angle A = 60^{\circ}$,$E$,$F$ 分别是 $AB$,$AD$ 的中点,$DE$ 与 $BF$ 相交于点 $G$,连接 $BD$,$CG$.
(1) 求证:$\angle BGD = 120^{\circ}$;
(2) 若 $DE = 2\sqrt{3}$,求 $DC$ 的长为4;
(3) 若菱形 $ABCD$ 的面积为 $32\sqrt{3}$,求 $CG$ 的长为$\frac{16\sqrt{3}}{3}$.

答案：
(1) 证明: $ \because $ 四边形 $ABCD $ 是菱形，$\therefore AB = BC = DC = AD $，$\angle A = \angle BCD $。又 $ \because \angle A = 60 ^ { \circ } $，$\therefore \angle BCD = 60 ^ { \circ } $，$\therefore \triangle ABD $，$\triangle BDC $ 均是等边三角形，$\therefore \angle ADB = \angle ABD = \angle CDB = \angle CBD = 60 ^ { \circ } $。$\because $ 在等边 $ \triangle ABD $ 中，$E $，$F $ 分别是 $AB $，$AD $ 的中点，$\therefore \angle GDB = \frac { 1 } { 2 } \angle ADB = 30 ^ { \circ } $，$\angle GBD = \frac { 1 } { 2 } \angle ABD = 30 ^ { \circ } $，$\therefore \angle GDC = \angle GBC = 90 ^ { \circ } $，$\therefore \angle BGD = 360 ^ { \circ } - 90 ^ { \circ } - 90 ^ { \circ } - 60 ^ { \circ } = 120 ^ { \circ } $。
(2) 解: $ \because $ 四边形 $ABCD $ 是菱形，$\therefore AB = DC $。由
(1) 可得，$DE \perp AB $，$BE = \frac { 1 } { 2 } AB = \frac { 1 } { 2 } BD $。$\because DE = 2 \sqrt { 3 } $，$\therefore BE = 2 $，$\therefore DC = AB = 2BE = 4 $。
(3) 解: 设菱形的边长为 $2a $，则 $DE = \sqrt { 3 } a $。$\because $ 菱形 $ABCD $ 的面积为 $32 \sqrt { 3 } $，$\therefore 2a \cdot \sqrt { 3 } a = 32 \sqrt { 3 } $，解得 $a = 4 $ 或 $a = - 4 $ (舍去)，$\therefore DC = 8 $。在 $ \mathrm {Rt} \triangle CDG $ 和 $ \mathrm {Rt} \triangle CBG $ 中，$\left\{ \begin{array} { l } { DC = BC }, \\ { CG = CG }, \end{array} \right. $$\therefore \mathrm {Rt} \triangle CDG \cong \mathrm {Rt} \triangle CBG ( \mathrm {HL} ) $，$\therefore \angle DGC = \angle BGC = \frac { 1 } { 2 } \angle BGD = 60 ^ { \circ } $，$\therefore \angle DCG = 30 ^ { \circ } $，$\therefore CG = 2DG $。在 $ \mathrm {Rt} \triangle DGC $ 中，由勾股定理，得 $CG ^ { 2 } = CD ^ { 2 } + DG ^ { 2 } $，即 $ ( 2DG ) ^ { 2 } = 8 ^ { 2 } + DG ^ { 2 } $，解得 $DG = \frac { 8 \sqrt { 3 } } { 3 } $，$\therefore CG = \frac { 16 \sqrt { 3 } } { 3 } $。