《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

1.(成外)若关于$x的一元二次方程x^{2}+8x+q= 0$有两个不相等的实数根,则$q$的取值范围是 (A)
A.$q＜16$
B.$q＞16$
C.$q≤4$
D.$q≥4$

答案： A

2.(龙泉驿区一诊)若关于$x的一元二次方程(k-2)x^{2}+2x-1= 0$有实数根,则$k$的取值范围是 (C)
A.$k≤1$
B.$k≤1且k≠2$
C.$k≥1且k≠2$
D.$k≥2$

答案： C

3.(成华区一诊)若关于$x的一元二次方程kx^{2}-2kx+4= 0$有两个相等的实数根,则$k$的值为 (D)
A.0或4
B.4或8
C.0
D.4

答案： D

4.(郫都区一诊)若关于$x的方程(m-1)x^{2}-2x+1= 0$有实数根,则$m$的取值范围是$m ≤ 2$.

答案： $m ≤ 2$

5.(温江区一诊)已知关于$x的一元二次方程x^{2}+mx-m+3= 0$有两个相等的实数根,则$m$的值为$-6$或$2$.

答案： $-6$或$2$

6.(金牛区二诊)关于$x的方程x^{2}-\sqrt {m}x+m-1= 0$有两个不同的实数根,则$m$的取值范围是$0 ≤ m ＜ \frac{4}{3}$.

答案： $0 ≤ m ＜ \frac{4}{3}$

7.(西川)已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(3k+1)x+2k^{2}+2k= 0$.若等腰三角形$ABC的一边长a= 6cm$,另两边长$b,c$恰好是这个方程的两个根,则此三角形的周长为16或22$cm$.

答案： $16$或$22$

8.(成华区期末)已知关于$x的一元二次方程x^{2}-2kx+k^{2}-k+1= 0$有两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围;
(2)若$k$和原方程的两个实数根都是整数,且$k＜5$,求$k$的值.

答案： 解:
(1)
∵关于$x$的一元二次方程$x^{2} - 2kx + k^{2} - k + 1 = 0$有两个不相等的实数根,
∴$\Delta = (-2k)^{2} - 4(k^{2} - k + 1) ＞ 0$,解得$k ＞ 1$.
(2)
∵$k$为整数,且$1 ＜ k ＜ 5$,
∴$k = 2$,$3$,$4$.
当$k = 2$时,原方程为$x^{2} - 4x + 3 = 0$,解得$x_{1} = 3$,$x_{2} = 1$,符合题意.
当$k = 3$时,原方程为$x^{2} - 6x + 7 = 0$,此方程无整数根,不合题意,舍去.
当$k = 4$时,原方程为$x^{2} - 8x + 13 = 0$,此方程无整数根,不合题意,舍去.
综上所述,$k$的值为$2$.

9.(金牛区一诊)已知关于$x的一元二次方程x^{2}+(2m+1)x+m^{2}+1= 0$.
(1)若方程有实数根,求实数$m$的取值范围;
(2)若方程一实数根为-3,求实数$m$的值.

答案： 解:
(1)
∵一元二次方程$x^{2} + (2m + 1)x + m^{2} + 1 = 0$有实数根,
∴$\Delta = (2m + 1)^{2} - 4 × 1 × (m^{2} + 1) = 4m - 3 ≥ 0$,
∴$m ≥ \frac{3}{4}$,
即实数$m$的取值范围为$m ≥ \frac{3}{4}$.
(2)将$x = -3$代入原方程,得$9 - 6m - 3 + m^{2} + 1 = 0$,
∴$m^{2} - 6m + 7 = 0$,
∴$m_{1} = 3 + \sqrt{2}$,$m_{2} = 3 - \sqrt{2}$.
∵当$m ≥ \frac{3}{4}$时,方程有实数根,
∴两个解都符合题意,
∴实数$m$的值为$3 + \sqrt{2}$或$3 - \sqrt{2}$.