《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

6. (石室联中)小曼和她的同学组成了“爱琢磨”学习小组,有一次,她们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,若$EG⊥FH$,则$\frac {EG}{FH}= 1$。”为了解决这个问题,经过思考,大家给出了以下两个方案：
方案一：过点A作$AM// HF$交BC于点M,过点B作$BN// EG$交CD于点N；
方案二：过点H作$HM⊥BC$交BC于点M,过点E作$EN⊥CD$交CD于点N。
(1)对小曼遇到的问题,请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明(如图1)；
(2)如果把条件中的“正方形”改为“矩形”(如图2),并设$AB= 3$,$BC= 5$,求$\frac {EG}{FH}$的值；
(3)如图3,在四边形ABCD中,$∠ABC= 90^{\circ }$,$AB= AD= 8$,$BC= CD= 4$,点E,F分别在线段AB,BC上,且$AF⊥DE$,求$\frac {DE}{AF}$的值。

答案：
解:
(1)选择方案一.证明如下:
如图1,过点A作AM//HF交BC于点M,过点B作BN//EG交CD于点N,
∴四边形AMFH、四边形BNGE都是平行四边形，
∴AM=HF,BN=EG.
∵EG⊥FH,AM//HF,BN//EG,
∴AM⊥BN,
∴∠BAM=90°−∠ABN=∠CBN.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC,∠ABM=∠BCN=90°,
∴△ABM≌△BCN (ASA),
∴AM=BN,
∴EG=FH,
∴EG/FH=1.

选择方案二.证明如下:
如图2,过点H作HM⊥BC交BC于点M,过点E作EN⊥CD交CD于点N,
∴四边形ABMH、四边形BCNE都是矩形，
∴AB=HM,BC=EN,BC//EN,
∴∠1=∠MFH.
∵AB=BC,
∴HM=EN.
∵EG⊥FH,
∴∠1+∠GEN=90°.
∵EN⊥CD,
∴∠GEN+∠EGN=90°,
∴∠1=∠MFH=∠EGN;
∵∠HMF=∠ENG=90°,HM=EN,
∴△HMF≌△ENG(AAS),
∴FH=EG,
∴EG/FH=1.
(2)如图3,过点A作AM//HF交BC于点M，作AN//EG交CD的延长线于点N，易得AM=HF,AN=EG.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADN =∠ABM=90°.
∵EG⊥FH,AM//HF,AN//EG,
∴AM⊥AN,
∴∠NAM=90°,
∴∠BAM=∠DAN,
∴△ABM∽△ADN,
∴AM/AN=AB/AD.
∵AB=3,AD=BC=5,
∴EG/FH=AN/AM=AD/AB=5/3.

(3)如图4,过点D作MN⊥BC,交BC的延长线于点M,过点A作AN⊥MN于点N，连接AC;
∵∠ABC=90°,AN⊥MN,MN⊥BC,
∴四边形ABMN是矩形，
∴∠N=∠M=90°,AN=BM,MN=AB=8.
∵AD=AB,CD=BC,AC=AC,
∴△ACD≌△ACB(SSS),
∴∠ADC=∠ABC=90°,
∴∠ADN+∠CDM=90°.又
∵∠ADN+∠DAN=90°,
∴∠DAN =∠CDM.
∵∠N=∠M=90°,
∴△ADN∽△DCM,
∴DM/AN=CM/DN=CD/AD=4/8=1/2,
∴AN=2DM,DN=2CM.
∵DC²=CM²+DM²,
∴16=CM²+(8−2CM)²,解得CM=4(不合题意，舍去)或CM=12/5,
∴BM=BC+CM=32/5=AN.过点E作EG⊥MN于点G,过点F作FH⊥AN 于点H.同
(1)易得∠AFH=∠DEG.又
∵∠AHF=∠DGE=90°,
∴△DEG∽△AFH,
∴DE/AF=EG/HF.
∵EG=AN=32/5,HF=AB=8,
∴DE/AF=(32/5)/8=4/5.