《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

6. (锦江区一诊)已知在平面直角坐标系xOy中,点$(1,a)$,$(2,a-\frac {1}{2})在反比例函数y= \frac {k}{x}$的图象上。
(1)求k的值。
(2)将反比例函数$y= \frac {k}{x}$的图象中x轴下方部分沿x轴翻折,其余部分保持不变,得到新的函数图象如图1所示,新函数记为函数F。
①如图2,直线$y= x+b$与函数F的图象交于A,B两点,点A的横坐标为$x_{1}$,点B的横坐标为$x_{2}$,且$x_{1}≤x_{2}＜0$,$x_{1}= 4x_{2}$,点P在y轴上,连接AP,BP。当$AP+BP$最小时,求点P的坐标。
②已知一次函数$y= nx-n+2(n≠0)$的图象与函数F的图象有三个不同的交点,直接写出n的取值范围。

答案：
解:
(1) $ \because $ 点 $ (1, a) $, $ (2, a - \frac{1}{2}) $ 在 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上,
$ \therefore 1 \cdot a = 2 \cdot (a - \frac{1}{2}) $, $ \therefore a = 1 $, $ \therefore k = 1 $.
(2) ① 联立方程组 $ \begin{cases} y = -\frac{1}{x}, \\ y = x + b, \end{cases} $ $ \therefore x^2 + bx + 1 = 0 $,
$ \therefore x_1x_2 = 1 $.
$ \because x_1 = 4x_2 $, $ \therefore 4x_2^2 = 1 $, $ \therefore x_2 = \pm \frac{1}{2} $.
$ \because x_2 ＜ 0 $, $ \therefore x_2 = -\frac{1}{2} $, $ x_1 = -2 $, $ \therefore A(-2, \frac{1}{2}) $, $ B(-\frac{1}{2}, 2) $.
如图 1, 作点 $ B $ 关于 $ y $ 轴的对称点 $ C(\frac{1}{2}, 2) $, 连接 $ AC $ 交 $ y $ 轴于点 $ P $, 则此时 $ AP + BP $ 最小.

设直线 $ AC $ 的解析式为 $ y = mx + h (m \neq 0) $,
$ \therefore \begin{cases} \frac{1}{2} = -2m + h, \\ 2 = \frac{1}{2}m + h, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} m = \frac{3}{5}, \\ h = \frac{17}{10}, \end{cases} $
$ \therefore $ 直线 $ AC $ 的解析式为 $ y = \frac{3}{5}x + \frac{17}{10} $,
$ \therefore P(0, \frac{17}{10}) $.
② $ \because y = nx - n + 2 = n(x - 1) + 2 $, 则该一次函数过点 $ (1, 2) $. 如图 2, 当 $ n ＞ 0 $ 时,
直线 $ l $ 和 $ y $ 轴左侧函数有 2 个交点时, 必然和 $ y $ 轴右侧的函数有一个交点, 符合题设条件,
联立 $ y = -\frac{1}{x} $ 和 $ y = nx - n + 2 $, 整理得 $ nx^2 - nx + 2x + 1 = 0 $, 则 $ \Delta = (-n + 2)^2 - 4n ＞ 0 $,
解得 $ n ＞ 4 + 2\sqrt{3} $ 或 $ n ＜ 4 - 2\sqrt{3} $. $ \because n ＞ 0 $, $ \therefore 0 ＜ n ＜ 4 - 2\sqrt{3} $ 或 $ n ＞ 4 + 2\sqrt{3} $.
当 $ n ＜ 0 $ 时, 直线(虚线)和 $ y $ 轴右侧函数有 2 个交点时, 必然和 $ y $ 轴左侧的函数有一个交点, 符合题设条件, 联立 $ y = \frac{1}{x} $ 和 $ y = nx - n + 2 $, 整理得 $ nx^2 - nx + 2x - 1 = 0 $,
则 $ \Delta = (-n + 2)^2 + 4n ＞ 0 $, 解得 $ n $ 为任意实数, 即 $ n ＜ 0 $.
综上, $ n $ 的取值范围为 $ n ＜ 4 - 2\sqrt{3} $ 且 $ n \neq 0 $ 或 $ n ＞ 4 + 2\sqrt{3} $.