《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

1. (成外)如图,$∠1= ∠2$,则下列各式不能说明$△ABC\backsim △ADE$的是 (D)

A. $∠D= ∠B$
B. $∠E= ∠C$
C. $\frac {AD}{AB}= \frac {AE}{AC}$
D. $\frac {AD}{AB}= \frac {DE}{BC}$

答案： D

2. (锦江区二诊)如图,在$Rt△ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ },AB= 3,BC= 5$,D 是线段 BC 上的一动点,连接 AD,以 AD 为边作$△ADE$,使$△ADE\backsim △ABC$,则$△ADE$的最小面积与最大面积之比等于______$\frac{9}{25}$.

答案： $\frac{9}{25}$　[解析]
∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,BC=5,
∴AC=4.当AD⊥BC时，△ADE的面积最小，
∴此时AD=$\frac{AB \cdot AC}{BC}$=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$.
∵△ADE∽△ABC,
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$,
∴$\frac{\frac{12}{5}}{3}$=$\frac{AE}{4}$,
∴AE=$\frac{16}{5}$,
∴△ADE的最小面积=$\frac{1}{2}AD \cdot AE$=$\frac{1}{2}$×$\frac{12}{5}$×$\frac{16}{5}$=$\frac{96}{25}$.当点D与点C重合时，△ADE的面积最大，
∵△ADE∽△ABC,
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$,
∴$\frac{4}{3}$=$\frac{AE}{4}$,
∴AE=$\frac{16}{3}$,
∴△ADE的最大面积=$\frac{1}{2}AD \cdot AE$=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{16}{3}$=$\frac{32}{3}$
∴△ADE的最小面积与最大面积之比为$\frac{\frac{96}{25}}{\frac{32}{3}}$=$\frac{9}{25}$.

3. (高新区期末)如图,在$△ABC$中,$AB= 2,∠ABC= 60^{\circ },∠ACB= 45^{\circ }$,点 D 在直线 BC 上运动,连接 AD,在 AD 的右侧作$△ADE\backsim △ABC$,F 为 AC 的中点,连接 EF,则 EF 的最小值为

______.

答案：
$\frac{3\sqrt{2}}{4}$　[解析]如图,作射线CE,设AC交DE于点J,过点A作AH⊥BC于点H.在Rt△ABH中，AH=$\sqrt{3}$.
∵∠ACH=45°,
∴AH=CH=$\sqrt{3}$，由勾股定理，易得AC=$\sqrt{6}$,
∴AF=CF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$.
∵△ADE∽△ABC,
∴　∠JCD　=　∠AEJ,∠ABC=∠ADE=60°.
∵∠AJE=∠DJC,
∴△AJE∽△DJC,
∴$\frac{AJ}{DJ}$=$\frac{EJ}{CJ}$,
∴$\frac{AJ}{EJ}$=$\frac{DJ}{CJ}$.
∵∠AJD=∠EJC,
∴△AJD∽△EJC,
∴∠ADJ=∠ACE=60°,
∴点E的运动轨迹是射线CE,
∴当EF⊥CE时,EF的值最小,此时EF=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$.

4. (锦江区期末)如图,在四边形 ABCD 中,$AD= 4,DC= 2,AC⊥BC且AC= BC$,E 是 AB 的中点,连接 DE,当 DE 取最大值时,AC 的长为______.

答案：
2$\sqrt{5}$　[解析]如图，以AD为斜边在AD的右边作等腰直角△ADT,连接ET,CE.
∵AC=CB,AC⊥CB,
∴∠ACB=90°,∠CAB=45°.
∵AE=EB,
∴EC⊥AB,
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}AE$.
∵AD=$\sqrt{2}AT$,
∴$\frac{AD}{AT}$=$\frac{AC}{AE}$=$\sqrt{2}$.
∵∠DAT=∠CAE=45°,
∴∠DAC=∠TAE,
∴△DAC∽△TAE,
∴$\frac{DC}{ET}$=$\frac{AD}{AT}$=$\sqrt{2}$.
∵AD=4,CD=2,
∴AT=DT=2$\sqrt{2}$,TE=$\sqrt{2}$,
∴DE≤DT+ET=3$\sqrt{2}$,
∴DE 的最大值为3$\sqrt{2}$,此时D,T,E三点共线，
∴AE=$\sqrt{AT^2 + TE^2}$=$\sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2}$=$\sqrt{10}$
∴AC=$\sqrt{2}AE$=2$\sqrt{5}$