《2025年名校题库九年级数学全一册北师大版》

1.(温江区一诊)数学活动课上,同学们将两张全等的三角形纸片完全重合放置,固定一个顶点,然后将其中一张纸片绕这个顶点旋转,来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和DBE中,$AB= DB= 3,BC= BE= 4,∠ABC= ∠DBE= 90^{\circ }$.
【初步感知】(1)如图1,连接AD,CE,在纸片DBE绕点B旋转过程中,试探究$\frac {AD}{CE}$的值;
【深入探究】(2)如图2,在纸片DBE绕点B旋转过程中,当点A恰好落在$\triangle DBE$的DE边上时,BE交AC于点F,求CF的长;
【拓展延伸】(3)如图3,在纸片DBE绕点B旋转过程中,当AC的中点M恰好落在$\triangle DBE$的DE边上时,DE与BC相交于点P,求CP的长.

答案：
解:
(1)
∵△ABC≌△DBE,
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BC}{BE}$=1,∠ABC=∠DBE,
∴∠ABC−∠ABE = ∠DBE−∠ABE,
∴∠ABD = ∠CBE,
∴△ABD∽△CBE,
∴$\frac{AD}{CE}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{3}{4}$.
(2)如图1,过点B作BG⊥DE于点G,过点A作AH⊥BD于点H,过点F作FT⊥BC于点T.

∵$S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}DE\cdot BG=\frac{1}{2}BD\cdot BE$,
∴$BG = \frac{BD\cdot BE}{DE}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$.
在Rt△BDG和Rt△EDB中,
∵∠D = ∠D,∠DGB = ∠DBE = 90°,
∴Rt△BDG∽Rt△EDB,
∴$\frac{DG}{BD}=\frac{BD}{DE}$,
∴$\frac{DG}{3}=\frac{3}{5}$,
∴$DG=\frac{9}{5}$.
∵BD = AB,BG⊥AD,
∴AD = 2DG=$\frac{18}{5}$.
由$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}BD\cdot AH=\frac{1}{2}AD\cdot BG$,得$3AH=\frac{18}{5}×\frac{12}{5}$,
∴$AH=\frac{72}{25}$,
∴$BH = \sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{3^{2}-(\frac{72}{25})^{2}}=\frac{21}{25}$.
∵∠ABC = ∠DBE,
∴∠ABH = ∠FBT.
又∠AHB = ∠FTB = 90°,
∴△ABH∽△FBT,
∴$\frac{FT}{BT}=\frac{AH}{BH}=\frac{24}{7}$.
设BT = 7k,则FT = 24k,
∵FT//AB,
∴△CFT∽△CAB,
∴$\frac{FT}{CT}=\frac{AB}{BC}$,$\frac{FT}{CF}=\frac{AB}{AC}$,
∴$\frac{24k}{CT}=\frac{3}{4}$,$\frac{24k}{CF}=\frac{3}{5}$,
∴CT = 32k,CF = 40k,由BT + CT = 4,得7k + 32k = 4,
∴$k=\frac{4}{39}$,
∴CF = 40k=$\frac{160}{39}$.
(3)如图2,连接BM,过点M作MF⊥BC于点F,作MQ⊥BE于点Q.

∵∠ABC = 90°,M是AC的中点,
∴BM = CM=$\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}$,
∴BF = CF=$\frac{1}{2}BC = 2$,
∴$FM=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$.
∵MQ⊥BE,
∴MQ//BD,
∴△EMQ∽△EDB,
∴$\frac{MQ}{EQ}$=$\frac{BD}{BE}$=$\frac{3}{4}$,
∴设MQ = 3a,则EQ = 4a,则EM = 5a.
在Rt△BMQ中,BQ = BE - EQ = 4 - 4a,MQ = 3a,
∴$(4 - 4a)^{2}+(3a)^{2}=(\frac{5}{2})^{2}$,解得$a=\frac{1}{2}$(舍去)或$a=\frac{39}{50}$,
∴EM = 5a=$\frac{39}{10}$.
∵BM = CM,
∴∠CBM = ∠C.
∵∠C = ∠E,
∴∠CBM = ∠E.
∵∠PMB = ∠BME,
∴△BMP∽△EMB,
∴$\frac{BM}{EM}$=$\frac{PM}{BM}$,
∴$PM=\frac{BM^{2}}{EM}=\frac{(\frac{5}{2})^{2}}{\frac{39}{10}}=\frac{125}{78}$.
在Rt△PMF中,$PF=\sqrt{PM^{2}-FM^{2}}=\sqrt{(\frac{125}{78})^{2}-(\frac{3}{2})^{2}}=\frac{22}{39}$,
∴CP = CF - PF = 2 - $\frac{22}{39}$=$\frac{56}{39}$.