《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

1. 若爬坡时坡面与水平面的夹角为α,则每爬 1 m 耗能$(1.025 - \cosα )$J,若某人爬了 1000 m,该坡角为$30^{\circ }$,则他耗能(参考数据:$\sqrt {3}\approx 1.732,\sqrt {2}\approx 1.414$)(B)

A.58 J
B.159 J
C.1025 J
D.1732 J

答案： 1.B

2. 某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把坡角由$37^{\circ }$减至$30^{\circ }$,已知原楼梯长为 5 米,调整后的楼梯会加长(参考数据:$\sin37^{\circ }\approx \frac {3}{5},\cos37^{\circ }\approx \frac {4}{5},\tan37^{\circ }\approx \frac {3}{4}$)(D)

A.6 米
B.3 米
C.2 米
D.1 米

答案： 2.D

3. (2024·盐都区二模)如图是某高铁站扶梯的示意图,扶梯 AB 的坡度$i = 5:12$. 李老师乘扶梯从底端 A 以 0.5 m/s 的速度用时 40 s 到达顶端 B,则李老师上升的垂直高度 BC 为$\frac{100}{13}$m.

答案： 3.$\frac{100}{13}$

4. (2024·姑苏区二模)为了防洪需要,某地决定新建一座拦水坝,如图,拦水坝的横断面为梯形 ABCD,斜面坡度$i = 3:4$是指坡面的铅直高度 AF 与水平宽度 BF 的比. 已知斜坡 CD 的长度为 20 米,$∠C = 18^{\circ }$,求斜坡 AB 的长. (结果精确到 0.1 米,参考数据:$\sin18^{\circ }\approx 0.31,\cos18^{\circ }\approx 0.95,\tan18^{\circ }\approx 0.32$)

答案：
4.解:如答图，过点D作DE⊥BC,垂足为E.
　　　　　
　由题意，得AF⊥BC,DE = AF;
∵斜面AB的坡度i = 3:4,
∴$\frac{AF}{BF}=\frac{3}{4}$,
∴设AF = 3x米,则BF = 4x米.
　在Rt△ABF中,
AB = $\sqrt{AF^{2}+BF^{2}}=\sqrt{(3x)^{2}+(4x)^{2}} = 5x$(米).
　在Rt△DEC中,∠C = 18°,CD = 20米,
∴DE = CD·sin18°≈20×0.31 = 6.2(米),
∴AF = DE = 6.2米,
∴3x = 6.2,
解得x = $\frac{31}{15}$,
∴AB = 5x≈10.3米.
　答:斜坡AB的长约为10.3米.

5. (2023·南京模拟)如图是大坝的横断面,斜坡 AB 的坡比$i = 1:2$,背水坡 CD 的坡比$i = 1:1$,若坡面 CD 的长度为$6\sqrt {2}$米,则斜坡 AB 的长度为(C)

A.$4\sqrt {3}$米
B.$6\sqrt {3}$米
C.$6\sqrt {5}$米
D.24 米

答案： 5.C

6. 小明想测量一棵树的高度,他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上,如图,此时测得地面上的影长为 8 米,坡面上的影长为 4 米. 已知斜坡的坡角为$30^{\circ }$,同一时刻,一根长为 1 米,垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米,则树的高度为(A)

A.$(6 + \sqrt {3})$米
B.12 米
C.$(4 + 2\sqrt {3})$米
D.10 米

答案： 6.A