《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

1. 若抛物线 $ y = x ^ { 2 } + m x $ 的对称轴是直线 $ x = 3 $，则关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } + m x = 7 $ 的解为(D)

A.$ x _ { 1 } = 0 $，$ x _ { 2 } = 6 $
B.$ x _ { 1 } = 1 $，$ x _ { 2 } = 7 $
C.$ x _ { 1 } = 1 $，$ x _ { 2 } = - 7 $
D.$ x _ { 1 } = - 1 $，$ x _ { 2 } = 7 $

答案： 1. D

2. 若抛物线 $ y = x ^ { 2 } + b x + c $ 与 $ x $ 轴的两个交点间的距离为 4，对称轴为直线 $ x = 2 $，$ P $ 为这条抛物线的顶点，则点 $ P $ 关于 $ x $ 轴的对称点的坐标是(A)

A.$ ( 2, 4 ) $
B.$ ( - 2, 4 ) $
C.$ ( - 2, - 4 ) $
D.$ ( 2, - 4 ) $

答案： 2. A

3. (2024·辽宁)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + b x + 3 $ 与 $ x $ 轴相交于点 $ A $，$ B $，点 $ B $ 的坐标为 $ ( 3, 0 ) $，若点 $ C ( 2, 3 ) $ 在抛物线上，则 $ AB $ 的长为4.

答案： 3. 4

4. (2024·济宁)将抛物线 $ y = x ^ { 2 } - 6 x + 12 $ 向下平移 $ k $ 个单位长度. 若平移后得到的抛物线与 $ x $ 轴有公共点，则 $ k $ 的取值范围是$ k ≥ 3 $.

答案： 4. $ k ≥ 3 $

5. 已知二次函数 $ y = x ^ { 2 } + m x + m ^ { 2 } - 3 $（$ m $ 为常数，$ m ＞ 0 $）的图像经过点 $ P ( 2, 4 ) $.
(1) 求 $ m $ 的值；
(2) 判断二次函数 $ y = x ^ { 2 } + m x + m ^ { 2 } - 3 $ 的图像与 $ x $ 轴交点的个数，并说明理由.

答案： 5. 解：
(1)将$(2,4)$代入$ y = x^{2} + mx + m^{2} - 3 $，
得$ 4 = 4 + 2m + m^{2} - 3 $，解得$ m_{1} = 1 $，$ m_{2} = - 3 $。
又$ \because m ＞ 0 $，$ \therefore m = 1 $。
(2)$ \because m = 1 $，$ \therefore y = x^{2} + x - 2 $。
$ \because b^{2} - 4ac = 1^{2} + 8 = 9 ＞ 0 $，
$ \therefore $二次函数的图像与$ x $轴有2个交点。

6. (2024·栖霞区期末)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + k = 0 $ 的一个根为 2，则二次函数 $ y = a ( x + 1 ) ^ { 2 } + k $ 与 $ x $ 轴的交点坐标为(A)

A.$ ( - 3, 0 ) $，$ ( 1, 0 ) $
B.$ ( - 2, 0 ) $，$ ( 2, 0 ) $
C.$ ( - 1, 0 ) $，$ ( 1, 0 ) $
D.$ ( - 1, 0 ) $，$ ( 3, 0 ) $

答案： 6. A

7. (2023·宁波)已知二次函数 $ y = a x ^ { 2 } - ( 3 a + 1 ) x + 3 $，下列说法正确的是(C)

A.点 $ ( 1, 2 ) $ 在该函数的图像上
B.当 $ a = 1 $ 且 $ - 1 ≤ x ≤ 3 $ 时，$ 0 ≤ y ≤ 8 $
C.该函数的图像与 $ x $ 轴一定有交点
D.当 $ a ＞ 0 $ 时，该函数图像的对称轴一定在直线 $ x = \frac { 3 } { 2 } $ 的左侧

答案： 7. C

8. (2023·自贡)经过 $ A ( 2 - 3 b, m ) $，$ B ( 4 b + c - 1, m ) $ 两点的抛物线 $ y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + b x - b ^ { 2 } + 2 c $($ x $ 为自变量)与 $ x $ 轴有交点，则线段 $ AB $ 的长为(B)

A.10
B.12
C.13
D.15

答案： 8. B