《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

7. (2023·虎丘区模拟)如图，抛物线 $ y = x^2 - x - 2 $ 交 $ x $ 轴于 $ A,B $ 两点，将该抛物线位于 $ x $ 轴下方的部分沿 $ x $ 轴翻折，其余部分不变，得到的新图像记为“图像 $ W $”，图像 $ W $ 交 $ y $ 轴于点 $ C $。
(1)写出图像 $ W $ 位于线段 $ AB $ 上方部分对应的函数表达式；
(2)若直线 $ y = -x + b $ 与图像 $ W $ 有三个交点，请结合图像，直接写出 $ b $ 的值。

答案：
7.解:
(1)当$x=0$时,$y=-2$,
∴$C(0,-2).$当$y=0$时,$x^{2}-x-2=0,(x-2)(x+1)=0$,
∴$x_{1}=2,x_{2}=-1$,
∴$A(-1,0),B(2,0).$
设图像W位于线段AB上方部分对应的函数表达式为$y=a(x+1)(x-2)$,把$C(0,-2)$代入,得$-2a=-2$,解得$a=1$,
∴$y=(x+1)(x-2)=x^{2}-x-2$,
∴图像W位于线段AB上方部分对应的函数表达式为$y=-x^{2}+x+2(-1＜x＜2).$
(2)由图像得直线$y=-x+b$与图像W有三个交点时,存在两种情况:
①当直线$y=-x+b$过点B,C时,与图像W有三个交点,此时$b=2;$
②当直线$y=-x+b$与图像W位于线段AB上方部分对应的函数图像相切时,如答图,

令$-x+b=-x^{2}+x+2,x^{2}-2x+b-2=0$,$(-2)^{2}-4×1×(b-2)=0$,解得$b=3$.
综上,b的值是2或3.

8. (2024·崇川区开学)已知关于 $ x $ 的二次函数 $ y = x^2 - 2mx + m^2 - 1 $。
(1)若 $ M(m - 1,y_1),N(m + 2,y_2) $ 两点在该二次函数的图像上，直接写出 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系；
(2)若将抛物线沿 $ y $ 轴翻折得到新抛物线，当 $ -1 ≤ x ≤ 3 $ 时，新抛物线对应的函数有最小值 3，求 $ m $ 的值。

答案： 8.解:
(1)
∵$y=x^{2}-2mx+m^{2}-1=(x-m)^{2}-1$,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线$x=m.$
∵$m-(m-1)＜m+2-m$,
∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离,
∴$y_{1}＜y_{2}.$
(2)
∵抛物线$y=x^{2}-2mx+m^{2}-1=(x-m)^{2}-1$,
∴沿y轴翻折后所得抛物线的函数表达式为$y=(x+m)^{2}-1$,
∴该抛物线的对称轴为直线$x=-m.$
①若$-m＜-1$,即$m＞1$,则当$x=-1$时,y有最小值,
∴$(-1+m)^{2}-1=3$,解得$m_{1}=3,m_{2}=-1.\because m＞1$,
∴$m=3.$
②若$-1≤ -m≤3$,即$-3≤ m≤1$,则当$x=-m$时,y有最小值 - 1,不合题意,舍去.
③若$-m＞3$,即$m＜-3$,则当$x=3$时,y有最小值,
∴$(3+m)^{2}-1=3$,解得$m_{1}=-1,m_{2}=-5.\because m＜-3$,
∴$m=-5.$
综上所述,m的值为3或 - 5.

9. (2023·江阴期末)将抛物线 $ y = x^2 - 8x $ 绕原点旋转 $ 180° $，则旋转后的抛物线对应的函数表达式为(D)

A.$ y = (x - 4)^2 + 16 $
B.$ y = (x + 4)^2 + 16 $
C.$ y = -(x + 4)^2 - 16 $
D.$ y = -(x + 4)^2 + 16 $

答案： 9.D

10. (2024·钟楼区月考)已知抛物线 $ C:y = x^2 + bx + c $ 的图像与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，且关于直线 $ x = 1 $ 对称，点 $ A $ 的坐标为 $ (-1,0) $。
(1)求抛物线 $ C $ 的函数表达式和顶点坐标；
(2)将抛物线 $ C $ 绕原点 $ O $ 顺时针旋转 $ 180° $ 得抛物线 $ C' $，且有点 $ P(m,t) $ 既在抛物线 $ C $ 上，也在抛物线 $ C' $ 上，求 $ m $ 的值；
(3)当 $ a ≤ x ≤ a + 1 $ 时，二次函数 $ y = x^2 + bx + c $ 的最小值为 $ 2a $，求 $ a $ 的值。

答案： 10.解:
(1)
∵点$A(-1,0)$与点B关于直线$x=1$对称,
∴点B的坐标为$(3,0),$则$y=(x+1)(x-3)$,即抛物线C的函数表达式为$y=x^{2}-2x-3=(x-1)^{2}-4$,
∴顶点坐标为$(1,-4).$
(2)
∵点$A(-1,0),B(3,0)$关于原点的对称点的坐标为$(1,0),(-3,0),$
∴抛物线$C'$的函数表达式为$y=-(x-1)(x+3)=-x^{2}-2x+3.$
由点$P(m,t)$在抛物线$y=x^{2}-2x-3$上,得$t=m^{2}-2m-3$,由点P也在抛物线$C'$上,得$t=-m^{2}-2m+3$,
∴$m^{2}-2m-3=-m^{2}-2m+3$,解得$m=\pm\sqrt {3}.$
(3)①当$a+1＜1$,即$a＜0$时,函数的最小值为$(a+1)^{2}-2(a+1)-3=2a$,解得$a=1-\sqrt {5}$(正值已舍去);
②当$a＜1≤ a+1$,即$0≤ a＜1$时,函数的最小值为$-4=2a$,解得$a=-2$(舍去);
③当$a≥1$时,函数的最小值为$a^{2}-2a-3=2a$,解得$a=2+\sqrt {7}$(负值已舍去).
综上,a的值为$1-\sqrt {5}$或$2+\sqrt {7}.$