《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

8. 如图，每个小正方形的边长都为 1，点 A，B，C 都在小正方形的顶点上，则∠ABC 的正切值为1.

答案： 8.1

9. (2024·靖江月考)已知关于 x 的一元二次方程$x^{2}-2x\cos α+\frac{3}{4}=0$有两个相等的实数根，则锐角α的度数为30°.

答案： 9.30

10. 因为$\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\cos 120^{\circ}=-\frac{1}{2}$，所以$\cos 120^{\circ}=\cos (90^{\circ}+30^{\circ})=-\sin 30^{\circ}=-\frac{1}{2}$，
因为$\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos 135^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\cos 135^{\circ}=\cos (90^{\circ}+45^{\circ})=-\sin 45^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
猜想：一般地，当α为锐角时，有$\cos (90^{\circ}+α)=-\sin α$，由此可知$\cos 150^{\circ}=$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案： 10.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

11. 如图，直线 MN 与⊙O 相切于点 M，ME=EF 且 EF//MN，则 cosE 的值为$\frac{1}{2}$.

答案： 11.$\frac{1}{2}$

12. 定义一种运算：
$\sin (α+β)=\sin α \cos β+\cos α \sin β$，
$\sin (α-β)=\sin α \cos β-\cos α \sin β$.
例如：当α=45°，β=30°时，$\sin (45^{\circ}+30^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，则$\sin 15^{\circ}$的值为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

答案： 12.$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

13. 数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角尺中，含 45°角的三角尺的斜边与含 30°角的三角尺的长直角边相等. 于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺直角顶点重合拼放在一起，点 B，C，E 在同一条直线上，若 BC=2，求 AF 的长.

答案： 13.解:在Rt△ABC中,BC = 2,∠A = 30°,AC = $\frac{BC}{\tan A} = 2\sqrt{3}$,则EF = AC = 2$\sqrt{3}$．
∵∠E = 45°,
∴FC = EF·sinE = $\sqrt{6}$,
∴AF = AC - FC = 2$\sqrt{3}$ - $\sqrt{6}$

14. 在△ABC 中，∠A，∠B 都是锐角，且$\sin A=\frac{1}{2}$，$\tan B=\sqrt{3}$，AB=10，求△ABC 的面积.

答案： 14.解:
∵在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,sinA = $\frac{1}{2}$,tanB = $\sqrt{3}$,
∴∠A = 30°,∠B = 60°,
∴∠C = 90°．
∵sinA = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{1}{2}$,tanB = $\frac{AC}{BC}$ = $\sqrt{3}$,AB = 10,
∴BC = $\frac{1}{2}$AB = 5,AC = $\sqrt{3}$BC = 5$\sqrt{3}$,
∴S△ABC = $\frac{1}{2}$BC·AC = $\frac{1}{2}$×5×5$\sqrt{3}$ = $\frac{25\sqrt{3}}{2}$

15. 如图，在△ABC 中，AC=BC，AB 是⊙C 的切线，切点为 D，直线 AC 交⊙C 于点 E，F，且$CF=\frac{1}{2}AC$.
(1)求∠ACB 的度数；
(2)若 AC=6，求 BF 的长.

答案：
15.解:
(1)如答图，连接CD．
∵AB是⊙C的切线,
∴CD⊥AB．
∵CA = CB,
∴AD = DB,CD平分∠ACB,即∠ACD = ∠BCD．
∵CF = $\frac{1}{2}$AC,CF = CD,
∴CD = $\frac{1}{2}$AC,
∴∠A = 30°,
∴∠ACD = 60°,
∴∠ACB = 2∠ACD = 120°．

(2)
∵∠BCF = 180° - ∠ACB = 60°,
∴∠BCF = ∠BCD．
在△BCD和△BCF中,$\{ \begin{array} { l } { CD = CF }, \\ { ∠ BCD = ∠ BCF }, \\ { BC = BC }, \end{array} $
∴△BCD≌△BCF,
∴∠BFC = ∠BDC = 90°,BF = BD,
∴BF = AD．
在Rt△ACD中,
∵∠A = 30°,AC = 6,
∴AD = $\frac{\sqrt{3}}{2}$AC = 3$\sqrt{3}$,
∴BF = 3$\sqrt{3}$