《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

8. 如图,在 $ △ ABC $ 中,$ ∠ B = 30^{\circ} $,$ ∠ C = 45^{\circ} $,$ AD $ 平分 $ ∠ BAC $ 交 $ BC $ 于点 $ D $,$ DE⊥ AB $,垂足为 $ E $. 若 $ DE = 1 $,则 $ BC $ 的长为(A)

A.$ 2 + \sqrt{2} $
B.$ \sqrt{2} + \sqrt{3} $
C.$ 2 + \sqrt{3} $
D.3

答案： 8.A

9. 如图,$ △ ABC $ 内接于 $ \odot O $,$ AO = 2 $,$ BC = 2\sqrt{3} $,则 $ ∠ BAC $ 的度数为60°.

答案： 9.60°

10. 在 $ △ ABC $ 中,$ ∠ B = 45^{\circ} $,$ AB = 10\sqrt{2} $,$ AC = 5\sqrt{5} $,则 $ △ ABC $ 的面积是75或25.

答案： 10.75或25

11. (2023·鼓楼区二模)我们给出定义:如果两个锐角的和为 $ 45^{\circ} $,那么称这两个角互为半余角. 如图,在 $ △ ABC $ 中,$ ∠ A,∠ B $ 互为半余角,且 $ \frac{BC}{AC} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $,则 $ \tan A = $$\frac{2}{5}$.

答案： 11.$\frac{2}{5}$

12. 一副直角三角尺如图放置,点 $ C $ 在 $ FD $ 的延长线上,$ AB// CF $,$ ∠ F = ∠ ACB = 90^{\circ} $,$ ∠ E = 30^{\circ} $, $ ∠ A = 45^{\circ} $,$ AC = 12\sqrt{2} $,求 $ CD $ 的长.

答案：
12.解:如答图，过点B作BM⊥FD于点M.
∵在△ACB 中,∠ACB=90°,∠A=45°,AC=12$\sqrt{2}$,
∴BC=AC=12$\sqrt{2}$,∠ABC=45°.
　　　　　　
∵AB//CF,
∴∠BCM=∠ABC=45°,
∴BM=BC·sin45°=12$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=12,CM=BM=12.
∵在△EFD中,∠F=90°,∠E=30°,
∴∠EDF=60°,
∴MD=$\frac{BM}{\tan60°}$=4$\sqrt{3}$,
∴CD=CM−MD=12−4$\sqrt{3}$.

13. 如图,在 $ △ ABC $ 中,$ BC = \sqrt{6} + \sqrt{2} $,$ ∠ C = 45^{\circ} $,$ AB = \sqrt{2}AC $,求 $ AC $ 的长.

答案：
13.解:如答图，过点A作AD⊥BC,垂足为D.
　　　　　
　设AC=x,则AB=$\sqrt{2}x$.
　在Rt△ACD中,AD=AC·sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}x$,CD=AC·cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}x$.
∵在Rt△ABD中,AB=$\sqrt{2}x$,AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}x$,
∴BD=$\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}x$,
∴BC=BD+CD=$\frac{\sqrt{6}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}x$=$\sqrt{6}+\sqrt{2}$,解得x=2.
　即AC的长为2.

14. 如图,在 $ △ ABC $ 中,$ ∠ C = 150^{\circ} $,$ AC = 4 $,$ \tan B = \frac{1}{8} $.
(1) 求 $ BC $ 的长;(结果保留根号)
(2) 利用此图形求 $ \tan 15^{\circ} $ 的值.(结果精确到 0.1,参考数据:$ \sqrt{2} \approx 1.4 $,$ \sqrt{3} \approx 1.7 $,$ \sqrt{5} \approx 2.2 $)

答案：
14.解:
(1)如答图,过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D.
∵∠ACB=150°,
∴∠ACD=30°.
∵在Rt△ADC中,AC=4,
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=2,CD=AC·cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$.
∵在Rt△ABD中,tanB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{2}{BD}$=$\frac{1}{8}$,
∴BD=16,
∴BC=BD−CD=16−2$\sqrt{3}$.
(2)如答图,在BC边上取一点M,使得CM=AC,连接AM.
　　　　　　
∵∠ACB=150°,
∴∠AMC=∠MAC=15°,
∴tan15°=tan∠AMD=$\frac{AD}{MD}$=$\frac{2}{4+2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$≈0.3.