《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

11. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ CAB = 90^{\circ} $，$ AD $ 是 $ ∠ CAB $ 的平分线，$ \tan B = \frac{1}{2} $，求 $ CD:DB $ 的值.

答案：
11. 解:在$Rt△ABC$中，$∠CAB = 90^{\circ},tanB = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{2}$，设$AC = x$，则$AB = 2x,BC = \sqrt{5}x$。如答图，过点$D$作$DE⊥AB$于点$E$。
$\because AD$是$∠CAB$的平分线，
$\therefore ∠DAE = ∠ADE = 45^{\circ}$，
$\therefore DE = AE$。设$DE = a$，则$AE = a,BE = 2a,DB = \sqrt{5}a$，
$\therefore 3a = 2x$，解得$x = \frac{3}{2}a$。
$\therefore CB = \frac{3\sqrt{5}}{2}a,CD = \frac{3\sqrt{5}}{2}a - \sqrt{5}a = \frac{\sqrt{5}}{2}a$，
$\therefore CD:DB = \frac{\sqrt{5}}{2}a:\sqrt{5}a = 1:2$。

六、构造直角三角形求值
12. 如图，$ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ BAC = 90^{\circ} $，$ \cos B = \frac{1}{4} $，$ D $ 是边 $ BC $ 的中点，以 $ AD $ 为底边在其右侧作等腰三角形 $ ADE $，使 $ ∠ ADE = ∠ B $，连接 $ CE $，则 $ \frac{CE}{AD} $ 的值为(A)

A.$ 2 $
B.$ \frac{\sqrt{15}}{2} $
C.$ \sqrt{3} $
D.$ \frac{3}{2} $

答案： 12. A

13. (2024·相城区一模) 如图，在 $ 4 × 4 $ 的网格中，每个小正方形的边长均为 1，线段 $ AB $，$ CD $ 的端点均为格点.若 $ AB $ 与 $ CD $ 所夹锐角为 $ α $，则 $ \tan α = $$\frac{4}{7}$.

答案： 13. $\frac{4}{7}$

14. 如图，$ △ ABC $ 的顶点都在正方形网格纸的格点上，则 $ \sin \frac{C}{2} = $$\frac{\sqrt{10}}{10}$.

答案： 14. $\frac{\sqrt{10}}{10}$

15. 如图，等腰 $ △ ABC $ 中，$ AB = AC $，$ CD $ 平分 $ ∠ ACB $，若 $ S_{△ ACD}:S_{△ BCD} = 3:2 $，求 $ \cos ∠ ACB $ 的值.

答案：
15. 解:如答图，过点$A$作$AE⊥BC$于点$E$，过点$D$作$DN⊥AC$于点$N$，$DM⊥BC$于点$M$。
$\because CD$平分$∠ACB,DM⊥BC,DN⊥AC, \therefore DM = DN$。
$\because S_{△BCD} = \frac{1}{2}BC·DM,S_{△ACD} = \frac{1}{2}AC·DN, \therefore S_{△ACD}:S_{△BCD} = AC:BC = 3:2$。
$\because AB = AC,AE⊥BC, \therefore BE = CE = \frac{1}{2}BC$，
$\therefore CE:AC = 1:3$，
$\therefore cos∠ACB = \frac{CE}{AC} = \frac{1}{3}$。

16. (2023·浦东新区模拟) 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ B = 45^{\circ} $，$ CD $ 是 $ AB $ 边上的中线，过点 $ D $ 作 $ DE ⊥ BC $，垂足为 $ E $，若 $ CD = 5 $，$ \sin ∠ BCD = \frac{3}{5} $.
求：(1)$ BC $ 的长；
(2)$ ∠ ACB $ 的正切值.

答案：
16. 解:
(1)$\because DE⊥BC,sin∠BCD = \frac{3}{5}$，
$\therefore \frac{DE}{CD} = \frac{3}{5}$。
$\because CD = 5, \therefore DE = 3$，
$\therefore CE = \sqrt{CD^{2} - DE^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$。
$\because ∠B = 45^{\circ}, \therefore DE = BE = 3, \therefore BC = BE + CE = 7$。
(2)过点$A$作$AF⊥BC$于点$F$，如答图，$\therefore DE//AF$。
$\because D$是$AB$的中点，$\therefore DE$是$△ABF$的中位线，
$\therefore AF = 2DE,BF = 2BE$。
由
(1)可知$DE = BE = 3, \therefore AF = 6,BF = 6$，
$\therefore CF = BC - BF = 1, \therefore tan∠ACB = \frac{AF}{CF} = 6$。