《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

8. (2023·达州)如图，乐器上的一根弦 $ AB = 80 $ cm，两个端点 A，B 固定在乐器面板上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则支撑点 C，D 之间的距离为$(80\sqrt{5}-160)$cm.(结果保留根号)

答案： 8. $(80\sqrt{5}-160)$

9. (2023·南京月考)实数 $ a $，$ n $，$ m $，$ b $ 满足 $ a ＜ n ＜ m ＜ b $，这四个数在数轴上对应的点分别为 A，N，M，B(如图)，若 $ AM^{2}=BM·AB $，$ BN^{2}=AN·AB $，则称 $ m $ 为 $ a $，$ b $ 的“大黄金数”，$ n $ 为 $ a $，$ b $ 的“小黄金数”，当 $ m - n = 6 $ 时，$ b - a = $$12 + 6\sqrt{5}$.

答案： 9. $12 + 6\sqrt{5}$

10. 如图，在矩形 ABCD 中，$ CD = 2 $，$ AD = 4 $，点 P 在 BC 上，将$△ ABP$沿 AP 折叠，点 B 恰好落在对角线 AC 上的点 E 处，O 为 AC 上一点，$\odot O$经过点 A，P.
（1）求证：BC 是$\odot O$的切线；
（2）在边 CB 上截取 $ CF = CE $，F 是线段 BC 的黄金分割点吗？请说明理由.

答案：
10.
(1) 证明：如答图，连接OP.
∵ $OA = OP$，
∴ $∠PAO = ∠APO$.

∵ $△AEP$ 是由 $△ABP$ 沿AP折叠得到的，
∴ $AE = AB = 2$，$∠OAP = ∠PAB$，
∴ $∠PAB = ∠OPA$，
∴ $AB// OP$，
∴ $∠OPC = ∠B$.
∵四边形ABCD是矩形，
∴ $∠B = 90^{\circ}$，
∴ $∠OPC = 90^{\circ}$，即 $OP⊥BC$，
∴BC是 $⊙O$ 的切线.
(2) 解：F是线段BC的黄金分割点. 理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴ $AB = CD = 2$，$BC = AD = 4$，
∴ $AC = \sqrt{AD^{2}+CD^{2}} = \sqrt{4^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{5}$.
由
(1)知 $AE = 2$，
∴ $CF = CE = AC - AE = 2\sqrt{5}-2$，
∴ $\frac{CF}{BC} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴F是线段BC的黄金分割点.

11. (1)如图①，在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ ∠B = 90^{\circ} $，$ AB = 2BC $，先以点 C 为圆心，CB 的长为半径画弧交边 AC 于点 D，再以点 A 为圆心，AD 的长为半径画弧交边 AB 于点 E. 求证：$\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；（这个比值$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$叫做 AE 与 AB 的黄金比）
(2)如果一等腰三角形的底边长与腰长的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形. 请你以图②中的线段 AB 为腰，用直尺和圆规作一个黄金三角形 ABC.
（注：直尺没有刻度，作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及的点用字母进行标注）

答案：
11.
(1) 证明：
∵在 $Rt△ABC$ 中，$∠B = 90^{\circ}$，$AB = 2BC$，
∴设 $AB = 2x$，$BC = x$，则 $AC = \sqrt{5}x$，$CD = x$，
∴ $AD = AE = (\sqrt{5}-1)x$，
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{(\sqrt{5}-1)x}{2x}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
(2) 解：如答图.

① 作AB的垂直平分线交AB于点D，过点B作AB的垂线，在垂线上截取 $BE = BD$；
② 连接AE，以点E为圆心，BE长为半径画弧，交AE于点F；
③ 以点B为圆心，AF长为半径画弧，以点A为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点为C，连接AC，BC，则 $△ABC$ 即为所求.