《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

一、用定义求值
1. 已知 $ AE $，$ CF $ 是锐角三角形 $ ABC $ 的两条高，若 $ AE:CF = 3:2 $，则 $ \sin A:\sin C = $2:3.

答案： 1. $2:3$

2. 已知 $ \tan α = 2 $，求 $ \frac{\sin α - \cos α}{\sin α + \cos α} $ 的值.

答案：
2. 解:根据三角函数的定义，构造如答图所示的直角三角形，使$∠C = 90^{\circ},AC = a,BC = 2a(a ＞ 0)$，则$tanA = tanα = 2,AB = \sqrt{a^{2}+(2a)^{2}} = \sqrt{5}a$，
$\therefore sinα = \frac{BC}{AB} = \frac{2\sqrt{5}}{5},cosα = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore \frac{sinα - cosα}{sinα + cosα} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{1}{3}$。

二、利用等角或等线段代换求值
3. (2023·惠山区月考) 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ CD ⊥ AB $，垂足为 $ D $，如果 $ BC = 3 $，$ AC = 4 $，那么 $ \sin ∠ BCD = $$\frac{3}{5}$.

答案： 3. $\frac{3}{5}$

4. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，$ \odot O $ 是 $ △ ABC $ 的外接圆，点 $ A $，$ B $，$ O $ 在网格线的交点上，则 $ \sin ∠ ACB $ 的值是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

答案： 4. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

5. (2024·泰州模拟) 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ AC = BC = 10 $，将 $ △ ABC $ 折叠，使点 $ A $ 落在边 $ BC $ 上的点 $ D $ 处，$ EF $ 为折痕.若 $ AE = 8 $，则 $ \sin ∠ BFD $ 的值为$\frac{1}{4}$.

答案： 5. $\frac{1}{4}$

三、根据特殊角的三角函数值求值
6. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，若 $ ∠ B = 2 ∠ A $，则 $ \tan B $ 的值为$\sqrt{3}$.
7. 在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ ∠ A = 60^{\circ} $，则 $ \tan A + \cos B = $$\frac{3}{2}\sqrt{3}$.

答案： 6. $\sqrt{3}$　7. $\frac{3}{2}\sqrt{3}$

四、借助边的数量关系求值
8. 如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”.若 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 是“好玩三角形”，且 $ ∠ A = 90^{\circ} $，则 $ \tan ∠ ABC = $$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

答案： 8. $\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

9. 在 $ △ ABC $ 中，角 $ A $，$ B $，$ C $ 的对边长分别是 $ a $，$ b $，$ c $，且 $ a $，$ b $，$ c $ 满足 $ b^{2} = (c + a)(c - a) $.若 $ 5b - 4c = 0 $，求 $ \sin A + \sin B $ 的值.

答案： 9. 解:根据$b^{2} = (c + a)(c - a)$，得$b^{2} = c^{2} - a^{2}$，
$\therefore a^{2} + b^{2} = c^{2}, \therefore △ABC$为直角三角形，且$∠C = 90^{\circ}$。
$\because 5b - 4c = 0, \therefore$设$b = 4k(k ＞ 0)$，则$c = 5k$，根据勾股定理，得$a = 3k, \therefore sinA + sinB = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{3k}{5k} + \frac{4k}{5k} = \frac{7}{5}$。

五、利用方程思想求值
10. 在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AC + BC = 7(AC ＞ BC) $，$ AB = 5 $，则 $ \tan B = $$\frac{4}{3}$.

答案： 10. $\frac{4}{3}$