《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

4. (2024·高邮模拟)如图，抛物线$y = ax^2 + 2x + c$交$x$轴于$A(6,0)$，$B(-2,0)$两点，交$y$轴于点$C$，顶点为$D$，对称轴分别交$x$轴，$AC$于点$E$，$F$，$P$是射线$DE$上一动点，过点$P$作$AC$的平行线$MN$交抛物线于点$M$，$N$（点$M$位于对称轴的左侧），设点$P$的纵坐标为$t$。
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)$Q$是抛物线上一点，点$P$在整个运动过程中，满足以$C$，$P$，$M$，$Q$为顶点的四边形是平行四边形时，求$t$的值。

答案： 解:
(1) 将点 $ B(-2, 0) $，$ A(6, 0) $ 代入 $ y = ax^2 + 2x + c $，得 $ \begin{cases} 4a - 4 + c = 0, \\ 36a + 12 + c = 0, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = -\dfrac{1}{2}, \\ c = 6, \end{cases} $
∴抛物线的函数表达式为 $ y = -\dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 6 $。
(2) 由
(1) 知 $ C(0, 6) $，$ P(2, t) $。若 $ PM $ 为边，
∵以 $ C $，$ P $，$ M $，$ Q $ 为顶点的四边形是平行四边形，
∴ $ MP // CQ $，$ MP = CQ $。
又
∵ $ AC // MP $，
∴点 $ Q $ 与点 $ A $ 重合，
∴ $ x_M = x_C + x_P - x_A = 0 + 2 - 6 = -4 $，$ y_M = y_C + y_P - y_A = 6 + t - 0 = 6 + t $，
∴ $ 6 + t = -\dfrac{1}{2} × 16 - 8 + 6 $，解得 $ t = -16 $；
若 $ PM $ 为对角线，
∵四边形 $ CPQM $ 是平行四边形，
∴ $ CP = MQ $，$ CM = PQ $，$ CP // MQ $，
设 $ M( a, -\dfrac{1}{2}a^2 + 2a + 6 ) $，则 $ Q( a + 2, -\dfrac{1}{2}a^2 + 8 ) $，
∵ $ y_Q - y_M = y_P - y_C $，
∴ $ ( -\dfrac{1}{2}a^2 + 8 ) - ( -\dfrac{1}{2}a^2 + 2a + 6 ) = t - 6 $，
∴ $ t = 8 - 2a $。
∵ $ A(6, 0) $，$ C(0, 6) $，
∴直线 $ AC $ 的函数表达式为 $ y = -x + 6 $。
∵ $ PM // AC $，
∴直线 $ PM $ 的函数表达式为 $ y = -x + t + 2 $。
∵ $ P(2, t) $，$ M( a, -\dfrac{1}{2}a^2 + 2a + 6 ) $，
∴ $ t + 2 = a - \dfrac{1}{2}a^2 + 2a + 6 $，解得 $ a = 5 + \sqrt{17} $ (舍去)，$ a = 5 - \sqrt{17} $，
∴ $ t = -2 + 2\sqrt{17} $。
综上所述，$ t = -16 $ 或 $ t = -2 + 2\sqrt{17} $。

5. 已知抛物线$y = x^2 + bx + c$过点$A(0,2)$，对称轴是直线$x = 2$。
(1)求此抛物线的函数表达式及顶点$M$的坐标；
(2)若点$B$在抛物线上，过点$B$作$x$轴的平行线交抛物线于点$C$，当$△ BCM$是等边三角形时，求此三角形的边长；
(3)已知点$E$在抛物线的对称轴上，点$D$的坐标为$(1,-1)$，是否存在点$F$，使以$A$，$D$，$E$，$F$为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点$F$的坐标；若不存在，请说明理由。

答案： 解:
(1)
∵对称轴是直线 $ x = 2 $，
∴ $ -\dfrac{b}{2} = 2 $，解得 $ b = -4 $，
∴ $ y = x^2 - 4x + c $，
将点 $ A(0, 2) $ 代入 $ y = x^2 - 4x + c $，可得 $ c = 2 $，
∴抛物线的函数表达式为 $ y = x^2 - 4x + 2 $，
当 $ x = 2 $ 时，$ y = -2 $，
∴顶点 $ M $ 的坐标为 $ (2, -2) $。
(2) 设直线 $ BC $ 的函数表达式为 $ y = m $，
当 $ x^2 - 4x + 2 = m $ 时，$ x_B + x_C = 4 $，$ x_B · x_C = 2 - m $，
∴ $ |x_B - x_C| = 2\sqrt{2 + m} $。
∵ $ M(2, -2) $，
∴点 $ M $ 到直线 $ BC $ 的距离为 $ m + 2 $。
∵ $ △ BCM $ 是等边三角形，
∴ $ \dfrac{1}{2}|x_B - x_C| = \dfrac{\sqrt{3}}{3}(m + 2) $，即 $ \sqrt{2 + m} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}(m + 2) $，
解得 $ m = 1 $ 或 $ m = -2 $ (舍去)，
∴三角形的边长为 $ 2\sqrt{3} $。
(3) 存在点 $ F $，使以 $ A $，$ D $，$ E $，$ F $ 为顶点的四边形为菱形。
设 $ E(2, t) $，$ F(x, y) $，
①当 $ AD $ 为菱形的对角线时，$ AE = DE $，
$ \begin{cases} 1 = 2 + x, \\ 2 - 1 = t + y, \\ 4 + (t - 2)^2 = 1 + (t + 1)^2, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} t = 1, \\ x = -1, \\ y = 0, \end{cases} $
∴ $ F(-1, 0) $；
②当 $ AE $ 为菱形的对角线时，$ AD = DE $，
$ \begin{cases} 2 = 1 + x, \\ 2 + t = y - 1, \\ 1 + 9 = 1 + (t + 1)^2, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} t = 2, \\ x = 1, \\ y = 5, \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} t = -4, \\ x = 1, \\ y = -1, \end{cases} $ (舍去)，
∴ $ F(1, 5) $；
③当 $ AF $ 为菱形的对角线时，$ AE = AD $，
$ \begin{cases} x = 2 + 1, \\ y + 2 = t - 1, \\ 4 + (t - 2)^2 = 1 + 9, \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} t = 2 + \sqrt{6}, \\ x = 3, \\ y = -1 + \sqrt{6} \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} t = 2 - \sqrt{6}, \\ x = 3, \\ y = -1 - \sqrt{6}, \end{cases} $
∴点 $ F $ 的坐标为 $ (3, -1 + \sqrt{6}) $ 或 $ (3, -1 - \sqrt{6}) $。
综上所述，点 $ F $ 的坐标为 $ (-1, 0) $ 或 $ (1, 5) $ 或 $ (3, -1 - \sqrt{6}) $ 或 $ (3, -1 + \sqrt{6}) $。