《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

8. (2023·昆山月考)如图，$AB = 8$，$AD = AC = 4$，$AE = 2$，$∠ BAD=∠ CAE$，$AM⊥ BC$，$AN⊥ DE$，垂足分别为$M$，$N$，则$AM:AN=$2。

答案： 8.2

9. 如图，在$△ ABC$中，点$F$，$G$在$BC$上，点$E$，$H$分别在$AB$，$AC$上，四边形$EFGH$是矩形，$EH = 2EF$，$AD$是$△ ABC$的高，$BC = 8$，$AD = 6$，那么$EH$的长为$\frac{24}{5}$。

答案： 9.$\frac{24}{5}$

10. 如图，$△ ABC$为锐角三角形，$AD$是$BC$边上的高，正方形$EFGH$的一边$FG$在$BC$上，顶点$E$，$H$分别在$AB$，$AC$上，已知$BC = 40\mathrm{cm}$，$AD = 30\mathrm{cm}$。
（1）求证：$△ AEH∽△ ABC$；
（2）求正方形$EFGH$的边长与面积。

答案：
10.
(1)证明:
∵四边形EFGH是正方形,
∴EH//BC,
∴∠AEH = ∠B,∠AHE = ∠C,
∴△AEH∽△ABC.
(2)解:如答图，设AD与EH交于点M.
　　　　　　　
∵∠EFD = ∠FEM = ∠FDM = 90°,
∴四边形EFDM是矩形,
∴EF = DM.
　　设正方形EFGH的边长为x cm,
∵△AEH∽△ABC,
∴$\frac{EH}{BC}$=$\frac{AM}{AD}$,
∴$\frac{x}{40}$=$\frac{30 - x}{30}$,解得x = $\frac{120}{7}$,
∴正方形EFGH的边长为$\frac{120}{7}$ cm,面积为$\frac{14400}{49}$ cm².

11. 如图，$AD$是$△ ABC$的角平分线，$\odot O$经过$A$，$B$，$D$三点。过点$B$作$BE// AD$，交$\odot O$于点$E$，连接$ED$。
（1）求证：$ED// AC$；
（2）若$BD = 2CD$，设$△ EBD$的面积为$S_1$，$△ ADC$的面积为$S_2$，且$S_1^2 - 16S_2 + 4 = 0$，求$△ ABC$的面积。

答案： 11.
(1)证明:
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD = ∠DAC.
∵∠E = ∠BAD,
∴∠E = ∠DAC;
∵BE//AD,
∴∠E = ∠EDA,
∴∠EDA = ∠DAC,
∴ED//AC.
(2)解:
∵BE//AD,
∴∠EBD = ∠ADC;
∵∠E = ∠DAC,
∴△EBD∽△ADC,且相似比k = $\frac{BD}{DC}$ = 2,
∴$\frac{S_1}{S_2}$ = k² = 4,即S₁ = 4S₂.
∵S₁² - 16S₂ + 4 = 0,
∴16S₂² - 16S₂ + 4 = 0,
　　即(4S₂ - 2)² = 0,解得S₂ = $\frac{1}{2}$.
∵$\frac{S_{△ABC}}{S_2}$ = $\frac{BC}{CD}$ = $\frac{BD + CD}{CD}$ = $\frac{3CD}{CD}$ = 3,
∴S_{△ABC} = $\frac{3}{2}$.