《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

1. 如图，抛物线$y = a(x - h)^2 + k$经过点$A(0,1)$，且顶点坐标为$B(1,2)$，它的对称轴与$x$轴交于点$C$。
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)在第一象限内的抛物线上是否存在点$P$，使得$△ ACP$是以$AC$为底的等腰三角形？若存在，请求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。

答案： 解:
(1)
∵抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的顶点坐标为 $ B(1, 2) $，
∴ $ y = a(x - 1)^2 + 2 $。
∵抛物线经过点 $ A(0, 1) $，
∴ $ a(0 - 1)^2 + 2 = 1 $，
解得 $ a = -1 $，
∴抛物线的函数表达式为 $ y = -(x - 1)^2 + 2 = -x^2 + 2x + 1 $。
(2) 存在.
∵ $ A(0, 1) $，$ C(1, 0) $，
∴ $ OA = OC $，
∴ $ △ OAC $ 是等腰直角三角形.
过点 $ O $ 作 $ AC $ 的垂线 $ l $，由等腰三角形“三线合一”的性质知 $ l $ 是 $ AC $ 的垂直平分线，
∵ $ PA = PC $，
∴ $ l $ 与抛物线在第一象限的交点即为 $ P $。
易知直线 $ l $ 的函数表达式为 $ y = x $，
联立 $ \begin{cases} y = x, \\ y = -x^2 + 2x + 1, \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} x = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}, \\ y = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}, \\ y = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \end{cases} $ (不合题意，舍去)，
∴点 $ P $ 的坐标为 $ ( \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}, \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) $。

2. 已知二次函数$y = x^2 - 2(m + 1)x + 2m + 1$（$m$为常数），函数图像的顶点为$C$。
(1)若该函数的图像恰好经过坐标原点，求点$C$的坐标；
(2)该函数的图像与$x$轴分别交于点$A$，$B$，若以$A$，$B$，$C$为顶点的三角形是直角三角形，求$m$的值。

答案： 解:
(1)
∵ $ y = x^2 - 2(m + 1)x + 2m + 1 $ 的图像经过点 $ (0, 0) $，
∴ $ 2m + 1 = 0 $，解得 $ m = -\dfrac{1}{2} $，
当 $ m = -\dfrac{1}{2} $ 时，$ y = x^2 - x = ( x - \dfrac{1}{2} )^2 - \dfrac{1}{4} $，
∴顶点 $ C $ 的坐标为 $ ( \dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{4} ) $。
(2) 当 $ y = 0 $ 时，$ x^2 - 2(m + 1)x + 2m + 1 = 0 $，
解得 $ x_1 = 2m + 1 $，$ x_2 = 1 $，
∴ $ AB = |2m| $。
∵ $ y = x^2 - 2(m + 1)x + 2m + 1 = (x - m - 1)^2 - m^2 $，
∴顶点 $ C $ 的坐标为 $ (m + 1, -m^2) $。
∵以 $ A $，$ B $，$ C $ 为顶点的三角形是直角三角形，
∴ $ 2m^2 = |2m| $，
当 $ 2m^2 = 2m $ 时，解得 $ m_1 = 0 $，$ m_2 = 1 $，
当 $ 2m^2 = -2m $ 时，解得 $ m_1 = 0 $，$ m_2 = -1 $，
当 $ m = 0 $ 时，$ AB = 0 $ (舍去)。
故 $ m $ 的值为 $ 1 $ 或 $ -1 $。

3. (2023·宜兴模拟)如图，抛物线$y = x^2 - 4x + 3a$（$a$为常数，且$a ≠ 0$）与$y$轴交于点$A$，过点$A$作$y$轴的垂线与此抛物线交于点$B$，点$A$与点$B$不重合。
(1)当抛物线经过坐标原点时，
①求此抛物线所对应的二次函数表达式；
②当$m ≤ x ≤ m + 2$（$m$为常数）时，$y$的最小值为$-3$，求$m$的值；
(2)若$P$是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为$2a + 1$，当以$A$，$B$，$P$为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求$a$的值。

答案：
解:
(1) ①把 $ (0, 0) $ 代入 $ y = x^2 - 4x + 3a $，得 $ 0 = 3a $，
∴ $ a = 0 $，
∴抛物线所对应的二次函数表达式为 $ y = x^2 - 4x $。
②抛物线对称轴为直线 $ x = 2 $。当 $ m + 2 ＜ 2 $，即 $ m ＜ 0 $ 时，$ x = m + 2 $ 时，$ y $ 取最小值，
∴ $ (m + 2)^2 - 4(m + 2) = -3 $，解得 $ m = -1 $ 或 $ m = 1 $ (舍去)。
当 $ m ＜ 2 ≤ m + 2 $，即 $ 0 ≤ m ＜ 2 $ 时，$ x = 2 $ 时，$ y $ 取最小值，此时最小值为 $ 2^2 - 4 × 2 = -4 $，不符合题意，舍去。
当 $ m ＞ 2 $ 时，$ x = m $ 时，$ y $ 取最小值，
∴ $ m^2 - 4m = -3 $，解得 $ m = 1 $ (舍去) 或 $ m = 3 $。
综上所述，$ m $ 的值为 $ -1 $ 或 $ 3 $。
(2) 设抛物线的对称轴交 $ AB $ 于点 $ K $，如答图。

在 $ y = x^2 - 4x + 3a $ 中，令 $ x = 0 $，得 $ y = 3a $，
∴ $ A(0, 3a) $。
∵抛物线的对称轴为直线 $ x = 2 $，过点 $ A $ 作 $ y $ 轴的垂线与此抛物线交于点 $ B $，
∴ $ B(4, 3a) $，$ K(2, 3a) $。
∵ $ P $ 是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为 $ 2a + 1 $，
∴ $ P(2, 2a + 1) $，
∴ $ PK = |(2a + 1) - 3a| = |-a + 1| $。
若以 $ A $，$ B $，$ P $ 为顶点的三角形是等腰直角三角形，则直角顶点为 $ P $，
∴ $ ∠ PAB = 45° $，
∴ $ △ PAK $ 是等腰直角三角形，
∴ $ AK = PK $，
∴ $ 2 = |-a + 1| $，解得 $ a = -1 $ 或 $ a = 3 $，
∴ $ a $ 的值为 $ -1 $ 或 $ 3 $。