《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

8. (2024·徐州月考)已知二次函数的图像经过点 $ P ( 2, 2 ) $,顶点为 $ O ( 0, 0 ) $,将该图像向右平移,当它再次经过点 $ P $ 时,所得抛物线的函数表达式为$ y = \frac{1}{2}(x - 4)^{2} $.

答案： 8. $ y = \frac{1}{2}(x - 4)^{2} $

9. 如图,$ \odot P $ 的半径为 2,圆心 $ P $ 在抛物线 $ y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - 3 $ 上运动,当 $ \odot P $ 与 $ x $ 轴相切时,圆心 $ P $ 的坐标为$ (-\sqrt{10}, 2) $ 或 $ (\sqrt{10}, 2) $ 或 $ (-\sqrt{2}, -2) $ 或 $ (\sqrt{2}, -2) $.

答案： 9. $ (-\sqrt{10}, 2) $ 或 $ (\sqrt{10}, 2) $ 或 $ (-\sqrt{2}, -2) $ 或 $ (\sqrt{2}, -2) $

10. 如图,将抛物线 $ y = x ^ { 2 } $ 向右平移 $ a $ 个单位长度,顶点为 $ A $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $,且 $ △ AOB $ 为等腰直角三角形.
(1)求 $ a $ 的值；
(2)在图中的抛物线上是否存在点 $ C $,使 $ △ ABC $ 为等腰直角三角形? 若存在,直接写出点 $ C $ 的坐标,并求 $ S _ { △ ABC } $ 的值；若不存在,请说明理由.

答案：
10. 解:
(1) 由题意, 得平移后的抛物线的函数表达式为 $ y = (x - a)^{2} $, 点 $ A $ 的坐标为 $ (a, 0) $,
令 $ y = (x - a)^{2} $ 中 $ x = 0 $, 则 $ y = a^{2} $, $ \therefore B(0, a^{2}) $.
$ \because △ AOB $ 为等腰直角三角形, $ \therefore a = a^{2} $, 解得 $ a = 1 $ 或 $ a = 0 $ (舍去). 故 $ a $ 的值为 1.
(2) 存在点 $ C $, 点 $ C $ 的坐标为 $ (2, 1) $.
作点 $ B $ 关于抛物线的对称轴对称的点 $ C $, 连接 $ BC $, 交抛物线的对称轴于点 $ D $, 连接 $ AC $, 如答图所示.
$ \because △ AOB $ 为等腰直角三角形,
$ \therefore △ ABD $ 为等腰直角三角形, $ \therefore ∠ BAD = 45^{\circ} $.
$ \because AD $ 为抛物线的对称轴,
$ \therefore AB = AC $, $ ∠ CAD = ∠ BAD = 45^{\circ} $, $ \therefore ∠ BAC = 90^{\circ} $,
$ \therefore △ ABC $ 为等腰直角三角形.
$ \because $ 点 $ B(0, 1) $, 抛物线的对称轴为直线 $ x = 1 $,
$ \therefore $ 点 $ C $ 的坐标为 $ (2, 1) $.
$ \because OA = OB = 1 $, $ \therefore AB = \sqrt{2} = AC $,
$ \therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · AC = \frac{1}{2} × \sqrt{2} × \sqrt{2} = 1 $.
故在图中的抛物线上存在点 $ C $, 使 $ △ ABC $ 为等腰直角三角形, 点 $ C $ 的坐标为 $ (2, 1) $ 且 $ S_{△ ABC} = 1 $.

11. 如图,抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + c $ 过点 $ ( - 2, 2 ) $,$ ( 4, 5 ) $,过定点 $ F ( 0, 2 ) $ 的直线 $ l : y = k x + 2 $ 与抛物线交于 $ A, B $ 两点,点 $ B $ 在点 $ A $ 的右侧,过点 $ B $ 作 $ x $ 轴的垂线,垂足为 $ C $.
(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当点 $ B $ 在抛物线上运动时,判断线段 $ BF $ 与 $ BC $ 的数量关系,并证明你的判断.

答案： 11. 解:
(1) 把 $ (-2, 2) $, $ (4, 5) $ 代入 $ y = ax^{2} + c $,
得 $ \begin{cases} 4a + c = 2, \\ 16a + c = 5, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = \frac{1}{4}, \\ c = 1, \end{cases} $
$ \therefore $ 抛物线的函数表达式为 $ y = \frac{1}{4}x^{2} + 1 $.
(2) $ BF = BC $.
证明: 设 $ B(x, \frac{1}{4}x^{2} + 1) $, 而 $ F(0, 2) $,
$ \therefore BF^{2} = x^{2} + (\frac{1}{4}x^{2} + 1 - 2)^{2} = x^{2} + (\frac{1}{4}x^{2} - 1)^{2} = (\frac{1}{4}x^{2} + 1)^{2} $, $ \therefore BF = \frac{1}{4}x^{2} + 1 $.
$ \because BC ⊥ x $ 轴, $ \therefore BC = \frac{1}{4}x^{2} + 1 $, $ \therefore BF = BC $.