《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

9. 如图，在$ △ ABC $中，$ DE // BC $，$ ∠ ADE= ∠ EFC $，$ AD∶BD=5∶3 $，$ CF=6 $，求$ DE $的长.

答案： 9. 解:
∵DE//BC,
∴∠ADE=∠B.
∵∠ADE=∠EFC,
∴∠B=∠EFC,
∴BD//EF.
∵DE//BF,
∴四边形BDEF为平行四边形,
∴DE=BF.
∵DE//BC,AD:BD=5:3,
∴AD:BD=AE:EC=5:3.
∵BD//EF,
∴AE:EC=BF:CF=5:3.
∵CF=6,
∴BF=10,
∴DE=10.

10. 如图，在$ \odot O $中，$ AB $为直径，$ BD $为弦，$ C $为$ \overset{\frown}{BD} $的中点，以$ C $为切点的切线与$ AB $的延长线交于点$ E $. 若$ \frac{CF}{AF}=\frac{1}{3} $，求$ \frac{CE}{AE} $的值.

答案：
10. 解:如答图,连接OC.
∵C为$\overset{\frown}{BD}$的中点,
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DC}$,
∴OC⊥BD.
∵EC是⊙O的切线,
∴OC⊥EC,
∴EC//BD.
∵$\frac{CF}{AF}=\frac{1}{3}$,
∴$\frac{EB}{AB}=\frac{1}{3}$
设EB=x,则AB=3x,BO=OC=$\frac{3}{2}x$,EO=$\frac{5}{2}x$,AE=4x,
∴EC=$\sqrt{EO^{2}-OC^{2}}=\sqrt{(\frac{5}{2}x)^{2}-(\frac{3}{2}x)^{2}}=2x$,
∴$\frac{CE}{AE}=\frac{2x}{4x}=\frac{1}{2}$.

11. 请阅读以下材料，并解答相应的问题.
角平分线分线段成比例定理：如图①，在$ △ ABC $中，$ AD $平分$ ∠ BAC $，则$ \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD} $.
下面是这个定理的部分证明过程.
证明：如图②，过点$ C $作$ CE // DA $，交$ BA $的延长线于点$ E $……
任务：
(1) 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2) 填空：如图③，在$ \mathrm{Rt} △ ABC $中，$ AB=3 $，$ BC=4 $，$ ∠ ABC=90^{\circ} $，$ AD $平分$ ∠ BAC $，则$ △ ABD $的周长是$\frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}$.

答案： 11.
(1)证明:过点C作CE//DA,交BA的延长线于点E.
∵CE//AD,
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{BA}{EA}$,∠2=∠ACE,∠1=∠E.
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∴∠ACE=∠E,
∴AE=AC,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
(2)$\frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}$