《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

1. 如图，直线 $ y = \dfrac{1}{2}x + 1 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $，$ △ BOC $ 与 $ △ B'O'C' $ 是以点 $ A $ 为位似中心的位似图形，且相似比为 $ 1:3 $，则点 $ B $ 的对应点 $ B' $ 的坐标为(4,3)或(-8,-3).

答案： 1. $(4,3)$或$(-8,-3)$

2. (2024·锡山区期末)如图，一次函数 $ y = \dfrac{1}{2}x + 2 $ 的图像分别交 $ x $ 轴，$ y $ 轴于 $ A $，$ B $ 两点，过该函数图像上一点 $ C(4,4) $ 作 $ CD ⊥ x $ 轴于点 $ D $，$ E $ 是线段 $ AB $ 上一动点，连接 $ BD $，$ EO $，若以 $ B $，$ E $，$ O $ 为顶点的三角形与 $ △ BCD $ 相似，求点 $ E $ 的坐标.

答案： 2. 解:设$E(t,\frac{1}{2}t + 2)$，当$y = 0$时，$\frac{1}{2}x + 2 = 0$，
解得$x = -4$，$\therefore A(-4,0)$。
当$x = 0$时，$y = \frac{1}{2}x + 2 = 2$，$\therefore B(0,2)$。
$\because C(4,4)$，$CD⊥ x$轴，
$\therefore CD = 4$，$BC = \sqrt{4^{2}+(4 - 2)^{2}} = 2\sqrt{5}$。
$\because CD// OB$，$\therefore ∠ EBO = ∠ BCD$，
$\therefore$当$\frac{BE}{CB} = \frac{BO}{CD}$时，$△ BEO∽△ CBD$，即$\frac{BE}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{4}$，
解得$BE = \sqrt{5}$，$\therefore t^{2}+(\frac{1}{2}t + 2 - 2)^{2} = 5$，
解得$t_{1} = 2$（舍去），$t_{2} = -2$，
此时点$E$的坐标为$(-2,1)$；
当$\frac{BE}{CD} = \frac{BO}{CB}$时，$△ BEO∽△ CDB$，
即$\frac{BE}{4} = \frac{2}{2\sqrt{5}}$，解得$BE = \frac{4\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore t^{2}+(\frac{1}{2}t + 2 - 2)^{2} = \frac{16}{5}$，解得$t_{1} = \frac{8}{5}$（舍去），$t_{2} = -\frac{8}{5}$，此时点$E$的坐标为$(-\frac{8}{5},\frac{6}{5})$。
综上所述，点$E$的坐标为$(-\frac{8}{5},\frac{6}{5})$或$(-2,1)$。

3. (2024·郑州期末)如图，反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图像经过点 $ A(2,3) $，直线 $ l $ 经过点 $ A $ 和点 $ B(0,4) $，与 $ x $ 轴交于点 $ C $，直线 $ l $ 的函数表达式为 $ y = mx + n $.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)在 $ y $ 轴上是否存在一点 $ P $，使得以 $ A $，$ B $，$ P $ 为顶点的三角形与 $ △ OBC $ 相似？若存在，请求出点 $ P $ 的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： 3. 解:
(1)将点$A(2,3)$代入$y = \frac{k}{x}$中，得$k = 6$，$\therefore$反比例函数的表达式为$y = \frac{6}{x}$。
将点$A(2,3)$，$B(0,4)$代入$y = mx + n$中，
得$\begin{cases}n = 4\\2m + n = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -\frac{1}{2}\ = 4\end{cases}$，
$\therefore$一次函数的表达式为$y = -\frac{1}{2}x + 4$。
(2)存在点$P$，使得以$A$，$B$，$P$为顶点的三角形与$△ OBC$相似，理由如下：
对于$y = -\frac{1}{2}x + 4$，当$y = 0$时，$x = 8$，
$\therefore C(8,0)$，$\therefore OB = 4$，$OC = 8$，$\therefore \frac{OB}{OC} = \frac{1}{2}$。
$\because △ OBC$是直角三角形，$\therefore △ APB$也是直角三角形，
当$∠ APB = 90^{\circ}$时，$P(0,3)$，此时$BP = 1$，$PA = 2$，
$\therefore \frac{BP}{AP} = \frac{1}{2}$，此时$△ OBC∽△ PBA$；
当$∠ PAB = 90^{\circ}$时，$∠ OCB = ∠ APB$，$\therefore \frac{AB}{AP} = \frac{1}{2}$。
$\because AB = \sqrt{(2 - 0)^{2}+(3 - 4)^{2}} = \sqrt{5}$，
$\therefore AP = 2AB = 2\sqrt{5}$，
$\therefore BP = \sqrt{AB^{2}+AP^{2}} = 5$，$\therefore P(0,-1)$。
综上所述，点$P$的坐标为$(0,3)$或$(0,-1)$。