《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

8. (2023·玄武区月考)设函数$y=a(x-h)^{2}+k(a,h,k$是实数，$a≠ 0)$，当$x=1$时，$y=1$；当$x=6$时，$y=6$，(B)

A.若$h=2$，则$a＜0$
B.若$h=3$，则$a＞0$
C.若$h=4$，则$a＞0$
D.若$h=5$，则$a＞0$

答案： 8. B

9. (2024·苏州)二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a≠ 0)$的图像过点$A(0,m)$，$B(1,-m)$，$C(2,n)$，$D(3,-m)$，其中$m$，$n$为常数，则$\frac{m}{n}$的值为$ -\frac{3}{5} $.

答案： 9. $ -\frac{3}{5} $

10. 如图，点$A$的坐标为$(-1,0)$，点$C$在$y$轴的正半轴上，点$B$在第一象限，$CB// x$轴，且$CA=CB$.若抛物线$y=a(x-1)^{2}+k$经过$A$，$B$，$C$三点，则此抛物线的函数表达式为$ y = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - 1)^{2} + \frac{4\sqrt{3}}{3} $.

答案： 10. $ y = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - 1)^{2} + \frac{4\sqrt{3}}{3} $

11. (2023·绍兴)已知二次函数$y=-x^{2}+bx+c$.
(1)当$b=4$，$c=3$时，
①求该函数图像的顶点坐标；
②当$-1≤ x≤ 3$时，求$y$的取值范围；
(2)当$x≤ 0$时，$y$的最大值为$2$；当$x＞0$时，$y$的最大值为$3$，求二次函数的表达式.

答案： 11. 解：
(1)①$\because b = 4$，$c = 3$，$\therefore y = -x^{2} + 4x + 3 = -(x - 2)^{2} + 7$，
∴顶点坐标为$(2,7)$。
②$\because -1≤ x≤ 3$，
∴当$ x = 2 $时，$ y $有最大值，为 7。
$\because 2 - (-1) ＞ 3 - 2$，
∴当$ x = -1 $时，$ y $有最小值，为$-2$，
∴当$-1≤ x≤ 3$时，$-2≤ y≤ 7$。
(2)$\because x≤ 0$时，$ y $的最大值为 2；$x ＞ 0$时，$ y $的最大值为 3，
∴抛物线的对称轴在$ y $轴的右侧。
即$ x = \frac{b}{2} ＞ 0 $，
∴$ b ＞ 0 $。
$\because$抛物线开口向下，$x≤ 0$时，$ y $的最大值为 2，
∴$ c = 2 $。
又$\because \frac{4× (-1)× c - b^{2}}{4× (-1)} = 3 $，
∴$ b = \pm 2 $。$\because b ＞ 0 $，
∴$ b = 2 $，
∴二次函数的表达式为$ y = -x^{2} + 2x + 2 $。

12. (2024·安徽)已知抛物线$y=-x^{2}+bx$（$b$为常数）的顶点横坐标比抛物线$y=-x^{2}+2x$的顶点横坐标大$1$.
(1)求$b$的值；
(2)点$A(x_{1},y_{1})$在抛物线$y=-x^{2}+2x$上，点$B(x_{1}+t,y_{1}+h)$在抛物线$y=-x^{2}+bx$上.
①若$h=3t$，且$x_{1}≥ 0$，$t＞0$，求$h$的值；
②若$x_{1}=t-1$，求$h$的最大值.

答案： 12. 解：
(1)$\because$抛物线$ y = -x^{2} + bx $的顶点横坐标为$\frac{b}{2}$，抛物线$ y = -x^{2} + 2x $的顶点横坐标为 1，
∴$\frac{b}{2} - 1 = 1$，
∴$ b = 4 $。
(2)$\because$点$ A(x_{1},y_{1}) $在抛物线$ y = -x^{2} + 2x $上，
∴$ y_{1} = -x_{1}^{2} + 2x_{1} $。
$\because$点$ B(x_{1} + t,y_{1} + h) $在抛物线$ y = -x^{2} + 4x $上，
∴$ y_{1} + h = -(x_{1} + t)^{2} + 4(x_{1} + t) $，$-x_{i}^{2} + 2x_{1} + h = -(x_{1} + t)^{2} + 4(x_{1} + t) $，
∴$ h = -t^{2} - 2x_{1}t + 2x_{1} + 4t $。
①$\because h = 3t $，
∴$ 3t = -t^{2} - 2x_{1}t + 2x_{1} + 4t $，
∴$ t(t + 2x_{1}) = t + 2x_{1} $。
$\because x_{1}≥ 0$，$t ＞ 0$，
∴$ t + 2x_{1} ＞ 0 $，
∴$ t = 1 $，
∴$ h = 3 $。
②将$ x_{1} = t - 1 $代入$ h = -t^{2} - 2x_{1}t + 2x_{1} + 4t $，得$ h = -3t^{2} + 8t - 2 = -3(t - \frac{4}{3})^{2} + \frac{10}{3} $。$\because -3 ＜ 0 $，
∴当$ t = \frac{4}{3} $，即$ x_{1} = \frac{1}{3} $时，$ h $取最大值，最大值为$\frac{10}{3}$。