《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

7. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D 是边 AB 的中点，现有一点 P 位于边 AC 上，使得△ADP 与△ABC 相似，则线段 AP 的长为4或$\frac{25}{4}$.

答案： 7.4或$\frac{25}{4}$

8. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，过点 B 作 BD⊥CB，垂足为 B，且 BD=3，连接 CD，与 AB 相交于点 M，过点 M 作 MN⊥CB，垂足为 N.若 AC=2，则 MN 的长为$\frac{6}{5}$.

答案： 8.$\frac{6}{5}$

9. (2024·苏州)如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CB=5，CA=10，点 D，E 分别在 AC，AB 边上，AE=$\sqrt{5}$AD，连接 DE，将△ADE 沿 DE 翻折，得到△FDE，连接 CE，CF.若△CEF 的面积是△BEC 面积的 2 倍，则 AD=$\frac{10}{3}$.

答案： 9.$\frac{10}{3}$

10. (2023·眉山)如图，在□ABCD 中，E 是 AD 的中点，连接 CE 并延长交 BA 的延长线于点 F.
(1)求证：AF=AB；
(2)G 是线段 AF 上一点，满足∠FCG=∠FCD，CG 交 AD 于点 H，若 AG=2，FG=6，求 GH 的长.

答案： 10.
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,
CD//AB,
∴∠D=∠FAD,∠DCE=∠F.
∵E是AD的中点,
∴DE=AE,
∴△CDE≌△FAE,
∴CE=EF.
∵AE//BC,
∴$\frac{FA}{AB}$=$\frac{FE}{CE}$=1,
∴AF=AB.
(2)解:
∵AG=2,FG=6,
∴AF=FG+AG=6+2=8,
∴AB=AF=8.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=8.
∵∠DCE=∠F,∠FCG=∠FCD,
∴∠F=∠FCG,
∴CG=FG=6.
∵CD//AF,
∴△DCH∽△AGH,
∴$\frac{CD}{AG}$=$\frac{CH}{GH}$,即$\frac{8}{2}$=$\frac{6−GH}{GH}$,
∴GH=1.2.

11. 如图，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD 于点 E，P 是边 AD 上一点，PE⊥EC.
(1)求证：AE·AB=DE·AP；
(2)若 AB=1，BC=2，求 AP 的长.

答案： 11.
(1)证明:
∵AE⊥BD,PE⊥EC,
∴∠AED=∠PEC=90°,
∴∠AEP+∠PED=90°,∠CED+∠PED=90°,
∴∠AEP=∠CED.
∵∠EAD+∠ADE=90°,∠ADE+∠CDE=90°,
∴∠EAP=∠EDC,
∴△AEP∽△DEC,
∴$\frac{AE}{DE}$=$\frac{AP}{DC}$.
∵AB=CD,
∴AE·AB=DE·AP.
(2)解:
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=2,∠BAD=90°,
∴BD=$\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}$=$\sqrt{5}$.
∵AE⊥BD,
∴$S_{△ABD}$=$\frac{1}{2}$BD·AE=$\frac{1}{2}$AB·AD,
∴AE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
∴DE=$\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$.
∵AE·AB=DE·AP,
∴AP= $\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}×1}{\frac{4\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{1}{2}$.