《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

6. 如图,已知$AD· AB = AF· AC$,求证:$△ DEB ∽ △ FEC$.

答案： 6. 证明: $ \because AD · AB = AF · AC, \therefore \frac{AD}{AF} = \frac{AC}{AB} $.
$ \because ∠ A = ∠ A, \therefore △ ADC ∼ △ AFB, \therefore ∠ C = ∠ B $.
$ \because ∠ DEB = ∠ FEC, \therefore △ DEB ∼ △ FEC $.

7. (2023·鼓楼区月考)如图,在等边$△ ABC$中,$D$为$BC$边上一点,$E$为$AC$边上一点,且$∠ ADE = 60^{\circ}$,$BD = 4$,$CE = 3$.
(1)求证:$△ ABD ∽ △ DCE$;
(2)求$△ ABC$的边长.

答案： 7.
(1) 证明: $ \because △ ABC $ 是等边三角形, $ \therefore ∠ B = ∠ C = 60^{\circ} $.
$ \because ∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD $,
$ \therefore ∠ ADE + ∠ CDE = ∠ B + ∠ BAD $.
$ \because ∠ B = ∠ ADE = 60^{\circ}, \therefore ∠ BAD = ∠ CDE $.
$ \therefore △ ABD ∼ △ DCE $.
(2) 解: $ \because △ ABD ∼ △ DCE, \therefore \frac{AB}{CD} = \frac{BD}{CE} $,
$ \therefore \frac{AB}{AB - 4} = \frac{4}{3} $, 解得 $ AB = 16, \therefore △ ABC $ 的边长为 16.

8. 如图,正方形$ABCD$的边长为$4$,$M$,$N$分别是$BC$,$CD$上的两个动点,当点$M$在$BC$上运动时,保持$AM$和$MN$垂直,设$BM = x$.
(1)证明:$\mathrm{Rt}△ ABM ∽ \mathrm{Rt}△ MCN$;
(2)当点$M$运动到什么位置时,$\mathrm{Rt}△ ABM ∽ \mathrm{Rt}△ AMN$,求$x$的值.

答案： 8.
(1) 证明: 在正方形 $ ABCD $ 中, $ AB = BC = CD = 4, ∠ B = ∠ C = 90^{\circ} $,
$ \because AM ⊥ MN, \therefore ∠ AMN = 90^{\circ} $,
$ \therefore ∠ CMN + ∠ AMB = 90^{\circ} $.
在 $ Rt △ ABM $ 中, $ ∠ MAB + ∠ AMB = 90^{\circ} $,
$ \therefore ∠ CMN = ∠ MAB, \therefore Rt △ ABM ∼ Rt △ MCN $.
(2) 解: $ \because ∠ B = ∠ AMN = 90^{\circ} $,
$ \therefore $ 要使 $ Rt △ ABM ∼ Rt △ AMN $, 必须有 $ \frac{AM}{MN} = \frac{AB}{BM} $,
由
(1)知 $ \frac{AM}{MN} = \frac{AB}{MC}, \therefore BM = MC $,
$ \therefore $ 当点 $ M $ 运动到 $ BC $ 的中点时, $ Rt △ ABM ∼ Rt △ AMN $,
此时 $ x = 2 $.

9. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$CD$为斜边上的高,$CE$平分$∠ BCD$,交$AB$于点$E$.求证:$AE^{2} = AD· AB$.

答案： 9. 证明: $ \because CE $ 平分 $ ∠ BCD, \therefore ∠ DCE = ∠ ECB $.
$ \because ∠ ACD + ∠ A = 90^{\circ}, ∠ B + ∠ A = 90^{\circ}, \therefore ∠ ACD = ∠ B $.
$ \because ∠ CEA = ∠ BCE + ∠ B, ∠ ACE = ∠ ACD + ∠ DCE $,
$ \therefore ∠ ACE = ∠ CEA, \therefore AC = AE $.
$ \because ∠ ADC = ∠ ACB = 90^{\circ}, ∠ CAD = ∠ BAC $,
$ \therefore △ ACD ∼ △ ABC $,
$ \therefore AC : AB = AD : AC $,
$ \therefore AC^{2} = AD · AB, \therefore AE^{2} = AD · AB $.

10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC = 90^{\circ}$,$D$为$AC$的中点,$AE ⊥ BD$,$E$为垂足,连接$CE$.求证:$∠ CBD = ∠ ECD$.

答案： 10. 证明: $ \because $ 在 $ △ ABC $ 中, $ ∠ BAC = 90^{\circ}, AE ⊥ BD $,
$ \therefore ∠ AED = ∠ BAD = 90^{\circ} $.
$ \because ∠ ADE = ∠ BDA, \therefore △ ADE ∼ △ BDA $,
$ \therefore AD : BD = DE : AD $.
$ \because D $ 为 $ AC $ 的中点, $ \therefore AD = CD $,
$ \therefore CD : BD = DE : CD $.
$ \because ∠ CDE = ∠ BDC, \therefore △ CDE ∼ △ BDC $,
$ \therefore ∠ CBD = ∠ ECD $.